UVA 10859 Placing Lampposts（树DP）

题意：给一个n个顶点m条边的无向无环图，在尽量少的结点上放灯，使得所有边都被照亮。每盏灯将照亮以它为一个端点的所有边。在灯的总数最小的前提下，被两盏灯同时照亮的变数应该尽量大。

思路：无向无环图就是“森林”，常用树形dp，本题要优化的目标有两个，放置的灯数a应尽量少，被两盏灯同时照亮的边数b应尽量大，为了统一，我们把b替换成”恰好被一盏灯照亮的边数c尽量小“。然后设x=Ma+c为最终的优化目标，M是一个很大的正整数。当x取最小值的时候，x/M就是a的最小值，x%M就是c最小值。

当有两个量v1,v2需要优化时，要求首先满足v1最小，在这个前提下v2最小的问题，可以考虑优化x=M*v1+v2，其中M是比"比v2的最大理论值和v2的最小理论值之差"还要大的数。

定义dp(i,j)，其中i表示节点i，j表示节点i的父节点是否放置了街灯，0代表没放，1代表放了，则dp(i,j)代表在上述下x的最小值。

实际上，对于每个节点而言，只有两种决策：在i处放或者不放街灯。

决策一：节点i处不放街灯，那么i是根或者父亲节点放了街灯。所以dp(i,j)=sum{ dp(v,0) | v取遍i的所有儿子节点 }，如果i不是根节点，那么结果+1，因为i和父亲连接的这条边只被一盏灯照亮。

决策二：节点i处放街灯，dp(i,j)=sum{ dp(v,1)| v取遍i的所有儿子节点  } + M，如果i不是根节点而且j=0，那么结果+1。

#include<cstdio>
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#include<cstdlib>
#include<iostream>
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#include<vector>
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#include<map>
#include<set>
#define eps 1e-6
#define LL long long
using namespace std;  

const int maxn = 1000 + 5;
const int M = 2000;
vector<int> G[maxn];
int d[maxn][2];
int m, n;

int dp(int i, int fa, int j) {
	if(d[i][j] != -1) return d[i][j];
	int& ans = d[i][j];
	ans = M;
	for(int k = 0; k < G[i].size(); k++) {
		if(G[i][k] != fa) ans += dp(G[i][k], i, 1);
	}
	if(fa > -1 && !j) ans++;
	int sumv = 0;
	if(fa == -1 || j == 1) {
		if(fa != -1) sumv = 1;
		for(int k = 0; k < G[i].size(); k++) {
			if(G[i][k] != fa) sumv += dp(G[i][k], i, 0);
		}
		ans = min(ans, sumv);
	}
	return ans;
}

int main() {
	//freopen("input.txt", "r", stdin);
	int t; cin >> t;
	while(t--) {
		cin >> n >> m;
		memset(d, -1, sizeof(d));
		for(int i = 0; i < n; i++) G[i].clear();
		for(int i = 0; i < m; i++) {
			int u, v;
			cin >> u >> v;
			G[u].push_back(v);
			G[v].push_back(u);
		}
		int ans = 0;
		for(int i = 0; i < n; i++)
			if(d[i][1] == -1) ans += dp(i, -1, 0);
		int a = ans/M, c = ans%M, b = m-c;
		printf("%d %d %d\n", a, b, c);
	}
	return 0;
}



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