钢条切割问题
现有一段长度为n英寸的钢条和一个价格表pi,求切割方案使销售利益最大rn最大
长度为n英寸的钢条共有2n?1种不同的切割方案，因为可以每个整英寸的位置都可以决定切割或者不切割。
- 为了得到rn最大，可以把这个问题分成子问题求解，先切一刀，再考虑余下的部分的最大收益即求
rn=max{pk+rn?k}（k=1,2,3…n-1），
pk部分不进行继续切割，直接作为一个整体售出 ;
rn?k部分继续切割，考虑所有的情况，分成子问题。
求出所有k值对应的收益最大者作为rn
- 也有可能不进行任何切割利益最大即rn=pn
综上： rn=max(pi+rn?i) (i=1,2,3…n , r0=0)
动态规划求解
考虑上面的算法实现：rn=max(pi+rn?i) (i=1,2,3…n , r0=0)，为了计算出rn必须计算出所有情况的切割方法，即有n个分支，第i个分支又对应着i个子分支，所以若采用递归调用计算所有情况，调用次数将是2n次。运行时间为n的指数函数。
上面的分析知，其中重复计算了很多次子问题，如果有个好的计算顺序，子问题先计算一次，把结果保存下来，下次再遇到这个子问题，只需要查表即可。动态规划方法是付出额外的内存空间来节省计算时间。
带备忘的自顶向下法
仍采用递归的方法，但过程中保存已求解过子问题的解，当需要一个子问题的解时，首先检查是否已经保存过此解。
int Memoized_Cut_Rod(int *p,int n)
{
int i=0;
int * r = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int)); //分配空间，用来存储已经计算过的子问题
for (i=0;i<=n;i++) //初始化
r[i] = -1;
return Memoized_Cut_Rod_Aux(p,n,r);
}
int Memoized_Cut_Rod_Aux(int *p,int n,int *r)
{
int q= -1,i;
if (r[n] >=0) //首先检查是否已经计算过，若有，直接返回
return r[n];
if (n == 0) //钢条长度为0，收益为0
q=0;
else
{
q = -1;
for (i=1;i<=n;i++)
{
q=Max(q,p[i]+Memoized_Cut_Rod_Aux(p,n-i,r)); //自顶向下递归
}
r[n] = q; //保存子问题的值
}
return q; //返回最大的收益
}自底向上法
把子问题按规模排序，按由小到大的顺序进行求解，当求解某个问题时，它所依赖的子问题已经被计算过，结果已经保存，这样每个子问题只需要计算一次。
int Bottom_Up_Cut_Rod(int *p,int n)
{
int * r = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int)); //分配空间，用来存储已经计算过的子问题
int i,j,q=-1;
r[0]=0;
for (j=1;j<=n;j++)
{
q=-1;
for(i=1;i<=j;i++)
{
q=Max(q,p[i]+r[j-i]); //自底向上，由小到大求解子问题
}
r[j]=q; //保存求解后的结果
}
return r[n];
}重构解
上面的代码是返回的最大收益，并没有返回具体切割方法。下面代码保存了每种尺寸，对应的左边部分大小（即作为整体售出部分）
int Extended_Bottom_Up_Cut_Rod(int *p,int n)
{
int * r = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));
int i,j,q=-1;
s = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int)); //保存每次切割前左边部分剩余尺寸
s[0]=0;
r[0]=0;
for (j=1;j<=n;j++)
{
q=-1;
for(i=1;i<=j;i++)
{
if (p[i]+r[j-i] > q)
{
s[j] = i; //保存左边部分(作为整体售出的部分)
q = p[i] + r[j-i];
}
}
r[j]=q;
}
return r[n];
}输入钢条的具体切割方法：
void Print_Cut_Rod_Solution(int *p,int n)
{
while(n>0)
{
printf("%d ",s[n]); //循环输出尺寸为n的钢条切割方法
n=n-s[n];
}
}例程
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CSDN 勿在浮沙筑高台
http://blog.csdn.net/luoshixian099
算法导论--动态规划（钢条切割）
2015年6月2日
************************************************************************/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int *s=NULL;
int Memoized_Cut_Rod_Aux(int *p,int n,int *r);
int Max(int a,int b)
{
return a>b?a:b;
}
int Memoized_Cut_Rod(int *p,int n)
{
int i=0;
int * r = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int)); //分配空间，用来存储已经计算过的子问题
for (i=0;i<=n;i++) //初始化
r[i] = -1;
return Memoized_Cut_Rod_Aux(p,n,r);
}
int Memoized_Cut_Rod_Aux(int *p,int n,int *r)
{
int q= -1,i;
if (r[n] >=0) //首先检查是否已经计算过，若有，直接返回
return r[n];
if (n == 0) //钢条长度为0，收益为0
q=0;
else
{
q = -1;
for (i=1;i<=n;i++)
{
q=Max(q,p[i]+Memoized_Cut_Rod_Aux(p,n-i,r));
}
r[n] = q; //保存子问题的值
}
return q; //返回最大的收益
}
int Bottom_Up_Cut_Rod(int *p,int n)
{
int * r = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int)); //分配空间，用来存储已经计算过的子问题
int i,j,q=-1;
r[0]=0;
for (j=1;j<=n;j++)
{
q=-1;
for(i=1;i<=j;i++)
{
q=Max(q,p[i]+r[j-i]); //自底向上，由小到大求解子问题
}
r[j]=q; //保存求解后的结果
}
return r[n];
}
int Extended_Bottom_Up_Cut_Rod(int *p,int n)
{
int * r = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));
int i,j,q=-1;
s = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int)); //保存每次切割前左边部分剩余尺寸
s[0]=0;
r[0]=0;
for (j=1;j<=n;j++)
{
q=-1;
for(i=1;i<=j;i++)
{
if (p[i]+r[j-i] > q)
{
s[j] = i; //保存左边部分(作为整体售出的部分)
q = p[i] + r[j-i];
}
}
r[j]=q;
}
return r[n];
}
void Print_Cut_Rod_Solution(int *p,int n)
{
while(n>0)
{
printf("%d ",s[n]); //循环输出尺寸为n的钢条切割方法
n=n-s[n];
}
}
void main()
{
int p[]={0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
int i;
for (i=1;i<=10;i++)
{
//printf("%d\n",Memoized_Cut_Rod(p,i));
printf("尺寸为%d的最大收益：%d ",i,Extended_Bottom_Up_Cut_Rod(p,i));
// printf("%d \n",s[i]);
printf("切割方法：");
Print_Cut_Rod_Solution(p,i);
free(s);
s=NULL;
printf("\n");
}
}
时间： 2024-10-29 19:09:45