邓俊辉数据结构学习-8-2-B树

B树

概述

动机： B树实现高速I/O

640K如何"满足"任何实际需求了-- 源自比尔·盖茨的一个笑话

前提知识

  1. 高速缓存

    • 为什么高速缓存有效?

      • 不同容量的存储器，访问速度差异悬殊，磁盘和内存访问速度的量级相差$>10^5$

        • 如果将访问内存比喻为1秒，那么访问外存则相当于1天
        • 因此我们需要尽量减少IO次数
  2. 分级I/O
    • 俩个相邻存储级别之间的数据传输，统称为IO操作
    • CPU -> RAM -> DISK -> ARRAY
    • 访问速度依次递减，存储容量依次递增
    • 常用的数据要放在最前面
  3. 从磁盘读取1B和读写1KB几乎一样快

问题：

B树为什么更宽更矮

B树实际也是BST，但是其对节点的定义方式不一样, 其定义的节点为超级节点

超级节点的概念：

如果我们将2代节点合并，并把它们都踩扁了，就会拥有4路，3个关键码

同理：每d代合并，就会拥有m =2^d路，m-1个关键码

  • 多级存储系统中使用B树，可以针对外部查找，大大减少IO次数

    • 对于常规BST来说，IO次数太高

      • 对于AVL树来说，如果访问1G数据，10^9个关键码，一次只读取一个数据得到logN = 30 需要30次IO访问。
    • 对于B树来说，则批量访问数据，一次读入一个超级节点
    • 因此B树的主要目的就是为了减少IO次数

B树定义

  • m阶B树：即m路平衡搜索树

对于m阶B树来说

关键码：

  • 上限：有不超过m-1个关键码, 即n <= m - 1个关键码——

    $$ K_1 < K_2 < K_3 < ... < K_(n-1) < K_n $$

  • 下限：

    对于根节点来说，则只要有不少于1个关键码就行

    对于其他节点来说，有不少于$\lceil \frac{m}{2} \rceil - 1 <= n$ 个关键码

分枝数

  • 上限：有不超过m个分支, 即n + 1 <= m个分支数——

    $$ A_0 < A_1 < A_2 < A_3 < ... < A_(n-1) < A_n $$

  • 下限：内部节点的分支数也不能太少

    对于根节点来说： 2 <= n + 1 "但树根是比较特殊的存在

    对于其他节点来说：有不少于$\lceil \frac{m}{2} \rceil <= n + 1$个分支

简单举例：

  • 2-4 树 —— 4阶B树，分支在2-4之内 这个树比较特殊??
  • 3-5 树 —— 5阶B树，分支在3-5之内
  • 3-6 树
  • 4-7 树
  • 4-8 树 等等

B树的性质

  • 所有叶节点深度统一相等
  • 外部节点深度统一相等
    • 外部节点就是叶节点的数值为空，但不存在的孩子。
    • 外部节点其实所有树都存在，但只不过我们不关心而已，但在接下来的RB??和B??，我们将比较关心这一点
    • important{:.error} B树中，外部节点更加名副其实，意味着查找失败，因此需要计算外部节点
  • 对于B树来说，B树的高度相对于外部节点来说。因此，空的B树高度为0，一个节点的B树高度为1。

实现

查找

一般来说，B树的词条极多，所以其存在外存之中。

B树查找的核心：只载入必需的节点，尽可能减少IO操作{:.info}

其大概思想就是将根节点存放在内存之中，当需要某些数据时，进行B树的查找，将其从外存中读入到内存。鉴于之前

谈过的数据的局部性。我们将新的查找到的超级节点也放到内存之中。因此在同样查找的情况下，B树的树高更低，

所执行的IO次数自然就少。因此我们借助比较小的内存，就可以实现大规模数据的高效操作

实例：

  1. 从根节点开始, 将第一个节点的所有key读入内存之中，执行一次顺序查找，如果查找成功，直接返回，如果查找失败

    按照失败位置，借助引用转向读取下一节点。

  2. 将下一节点的所有key读入内存之中，再次进行一次顺序查找。

...

  1. 到达最后的时候，如果依然失败，会进入到外部节点，此时我们认为查找失败（P.s当然，我们也可以在外部节点接入

    层次更低B树，从而构成一个整体上很大的B树。

不难发现，整个B树查找的过程其实就是在顺序查找，IO操作，顺序查找，IO操作不停重复的过程。

B树的失败查找，一定结束于外部节点处。

B树的算法时间主要消耗在俩个方面

  1. IO上面，因此，树的高度h很重要
  2. 在每个超级节点上，我们都执行顺序查找（在小规模情况下，顺序查找要比二分查找快）

一个B树有N个内部节点，就一定有N+1个外部节点，从物理意义上理解，N个内部节点代表N种成功的可能，

自然对于N+1种失败的可能。

插入

对于插入来说，自然要合理使用search接口(插入必定插入在叶子节点,说实话，树的插入没有位置的选项，所以只能

插入，然后让树自己去选择位置)。search帮我们找到了叶子节点_hot，然后我们通过find接口找到

_hot节点中大于target的第一个关键码，然后在这里新插入

BTree<T>::insert(const T &e)
{
    auto ret = search(e);
    if(ret) return false; // 保证目标元素不存在
    ++_size;
    // search查找失败后，_hot就是叶节点
    // 我们要在_hot中插入e
    auto retIter = find(_hot->key.begin(), _hot->key.end(), [=](T t){
                                                    if(e>=t)    return true;
                                                    return false;});
    _hot->key.insert(retIter, e);

插入关键码后，自然也要插入孩子指针，而实际上如下图所示，因为使叶子节点

我们并不需要去寻找位置，只要在child向量中push_back一个空指针即可

    // 理论上的插入
    //int posnum = retIter - _hot->key.begin();
    //_hot->child.insert(_hot->child.begin() + posnum + 1, nullptr );
    // 但是叶子节点后面全是外部节点，所以都是nullptr，不需要再特定位置插入
    _hot->child.push_back(nullptr);
    // 插入之后，可能会导致这个节点的关键码超过m-1，从而溢出，违反了B树的定义。
    solveOverflow(_hot);
}
/*
 superNode-_hot                    ┌───┐
                                   │ e │
┌─────────┐      ┌───┬───┬───┬───┬─┴─┬─┴─┬───┬───┐
│ key-set │───?  │ s1│ o │ o │ o │█a█│ b │ o │ e1│
├─────────┤    ┌─┴─┬─┴─┬─┴─┬─┴─┬─┴─┬─┴─┬─┴─┬─┴─┬─┴─┐
│child-set│───?│nul│nul│nul│nul│nul│NUL│nul│nul│nul│
└─────────┘    └───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘
┌─────────┐      ┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
│ key-set │───?  │ s1│ o │ o │ o │█a█│ e │ b │ o │ e1│
├─────────┤    ┌─┴─┬─┴─┬─┴─┬─┴─┬─┴─┬─┴─┬─┴─┬─┴─┬─┴─┬─┴─┐
│child-set│───?│nul│nul│nul│nul│nul│NUL│   │nul│nul│nul│
└─────────┘    └───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘
                                         ^
                                        这里为理论上需要插入的新节点
*/

tips

参照这幅图，我们不难发现几个规律，只要我们将key向量稍稍挪位，就可以得到一个逻辑上很清晰的关系，在秩为r的小 节点上，其左孩子在child向量中的秩r，右孩子为r + 1

插入完成之后，我们会发现这个新的B树可能会跳出去，不再符合B树的定义，我们需要使用上溢操作将其调整回来

          ┌───┬───┬───┐                      ┌───┬───┬───┐                  ┌───┬───┬───┬───┐
          │400│470│500│                   p->│400│470│500│               p->│400│440│470│500│
          └───┼───┴───┤                      └───┼───┴───┤                  └───┼───┼───┴───┤
        ┌─────┘       └─┐                ┌───────┘       └─┐                ┌───┘   │       └─┐
        │               │                │                 │                │       │         │
        ▼               ▼                ▼                 ▼                ▼       ▼          ▼
  ┌───┬───┬───┐   ┌───┬───┬───┐    ┌───┬───┬───┬───┐ ┌───┬───┬───┐    ┌───┬───┐    ┌───┐     ┌───┬───┬───┐
  │410│430│450│   │520│540│570│ v->│410│430│440│450│ │520│540│570│ v->│410│430│ u->│450│     │520│540│570│
  └───┴───┴───┘   └───┴───┴───┘    └───┴───┴───┴───┘ └───┴───┴───┘    └───┴───┘    └───┘     └───┴───┴───┘
                                            mid
         ┌────────────┐                 ┌───────────┬───┐                  ┌───────────┐
         │ orgin tree │                 │insert node│440│                  │ overflow  │
         └────────────┘                 └───────────┴───┘                  └───────────┘

                        ┌───┐
                        │470│
                        ╳───╳
                       ╱     ╲
                    ╱─╱       ╲─────╲
                   ╱                 ╲
          ┌───┬───▼                 ┌─▼─┐
          │400│440│                 │500│
          └───┴───╳                 └───╳
                 ╱                       ╲
       ╱────────╱                        ╲
      ▼                                   ▼
┌───┬───┬───┐                       ┌───┬───┬───┐
│410│430│450│                       │520│540│570│
└───┴───┴───┘                       └───┴───┴───┘
     ┌───────────┐
     │ overflow  │
     └───────────┘

当节点发生上溢的时候，我们选取中位数，将其调整上去，然后将原来的节点分裂成俩部分

具体一点的方法就是:

  1. 在集和v中找到中位数440
  2. 让中位数右边的集独立出去（编程做法就是新建一个集和，拷贝原来，删除原来）
  3. 中位数升上去（利用find在p中找到大于中位数的第一个值，得到秩，有了秩就可以为所欲为了）
  4. 删除边角料，然后让一些小节点回指superNode
  5. 递归处理v的父亲p

删除

对于删除来说，同样要好好利用search接口。和之前BST的删除方法一样，B树的节点真实孩子要么为0，要么一定大于等于2

因此对于这个删除来说，必须要依然保持BST的有序性，因此就要利用节点中序后继的做法

BTree<T>::remove(const T &e)
{
    BTNodePos(T) v = search(e);
    if(!v)  return false;
    --_size;
    auto rIter = find(v->key.begin(), v->key.end(), e);
    assert(rIter != v->key.end());
    int r = rIter - v->key.begin();

在节点不是叶子节点的情况下，我们使用其中序后继，且其中序后继一定是叶子节点

    if(v->child[0]) // 如果v不是叶子节点, 就交换其成为后继
    {
        BTNodePos(T) w = v->child[r + 1];
        while(w->child[0] ) w = w->child[0];   // 此时w就是v的后继叶子节点
        // 为什么？ 因为在B树中，如果一个节点左子树为空，那么右子树一定为空。且其一定为叶子节点，这是定义
        // 而一个节点的中序后继节点没有左子树，
        v->key[r] = w->key[0];
        v = w; r = 0;
    } // 此时v处于最底层，删除v
    v->key.erase(v->key.begin());
    v->child.erase(v->child.begin() + r + 1);
    solveUnderflow(v);
    return true;
}

因此，同插入一样，所有的删除一定在最底层发生

对于删除来说，因为B树的关键码下限存在，所以可能会发生下溢情况，此时我们可以通过旋转和合并来解决

                                                 y                                  x
        ┌───┬───┬───┐                      ┌───┬───┬───┐                      ┌───┬───┬───┐
        │400│470│500│                    P │400│470│500│                    P │400│450│500│
        └───┼───┼───┘                      └───┼───┼───┘                      └───┼───┼───┘
      ┌─────┘   └┐                     ┌───────┘   └─┐                    ┌───────┘   └──┐
      │          │                     │             │                    │              │
      ▼          ▼                     ▼             ▼                    ▼              ▼
┌───┬───┬───┐  ┌───┐             ┌───┬───┬───┐       ┌┐             ┌───┬───┐          ┌───┐
│410│430│450│  │490│            V│410│430│450│x     U││            V│410│430│         U│470│y
└───┴───┴───┘  └───┘             └───┴───┴───┘       └┘             └───┴───┘          └───┘
       ┌────────────┐                 ┌───────────┬───┐                  ┌───────────┐
       │ orgin tree │                 │delete node│490│                  │  rotate   │
       └────────────┘                 └───────────┴───┘                  └───────────┘
这是一颗2-4树，关键码的范围为1-3
我们发现V比较富裕，V > (m -1)/2 - 1 所以向V借一个节点，V也不会发生下溢，所以U借走了P中的y，P又
借走了V中的x，看起来像发生了旋转一样
    ┌───┬───┬───┐           ┌───┬───┬───┐         ┌───┐   ┌───┐        ┌───┬───┐
    │400│470│500│          P│400│470│500│        P│400│   │500│        │400│500│
    └───┼───┼───┘           └───┼───┼───┘         └───┤   ├───┘        └───┼───┘
  ┌─────┘   └┐          ┌───────┘   └─┐       ┌───────┘   └─┐           ┌──┘
  │          │          │             │       │             │           │
  ▼          ▼          ▼             ▼       ▼             ▼           ▼
┌───┐      ┌───┐      ┌───┐           ┌┐    ┌───┐     ┌───┐ ┌┐        ┌───┬───┐
│430│      │490│    V │430│          U││   V│430│     │470│U││        │430│450│
└───┘      └───┘      └───┘           └┘    └───┘     └───┘ └┘        └───┴───┘
   ┌────────────┐      ┌───────────┬───┐     ┌───────────┬───┐    ┌───────────┐
   │ orgin tree │      │delete node│490│     │down angel │490│    │   merge   │
   └────────────┘      └───────────┴───┘     └───────────┴───┘    └───────────┘
依然是一颗2-4树，如果之前的V已经处于崩溃边缘的话，此时就没有兄弟借钱给U了，此时就需要天使融资了。
从P中下来一个天使，这个天使节点就是U和V中间共同的老爹节点。将V和U合并，我们发现P中就会消失一个节点，
自然有连续崩溃的可能性，因此同Overflow一样，依然需要递归处理，
        ┌───┐                   ┌───┬───┐
        │470│                   │470│500│
        ├───┤                   ├───┼───┘             │   │                │
  ┌─────┘   └┐          ┌───────┘   └─┐       ┌───────┘   └─┐           ┌──┘
  │          │          │             │       │             │           │
  ▼          ▼          ▼             ▼       ▼             ▼           ▼
┌───┐      ┌───┐      ┌───┐           ┌┐    ┌───┐     ┌───┐ ┌┐        ┌───┬───┐
│430│      │490│      │430│           ││    │430│     │470│ ││        │430│450│
└───┘      └───┘      └───┘           └┘    └───┘     └───┘ └┘        └───┴───┘
   ┌────────────┐      ┌───────────┬───┐     ┌───────────┬───┐    ┌───────────┐
   │ orgin tree │      │delete node│490│     │down angel │490│    │   merge   │
   └────────────┘      └───────────┴───┘     └───────────┴───┘    └───────────┘
当天使节点来自根节点的时候，此时就会形成一个虚根，没有任何作用，自然直接处理掉这个虚根，
让根指向它的孩子节点。

具体的实际代码如下,

// 节点的下溢，做节点的旋转或者合并处理
template <typename T>
void
BTree<T>::solveUnderflow(BTNodePos(T) v)
{
    if(v->child.size() >= (_order + 1) / 2) // _order + 1) / 2 就是向上取整的操作
        return ; // 递归基:当前节点不满足下溢情况
    BTNodePos(T) p = v->parent;
    if(!p) // v已经是根节点，此时没有孩子的下限
    {
        if(!v->key.size() && v->child[0])
        {
            // 根节点没有关键码，却有非空孩子，此时应对根节点孩子发生合并的情况。可以直接跳过
            _root = v->child[0];
            _root->parent = nullptr;
            v->child[0] = nullptr;
            delete v;
        }
        return ;
    }
    size_t r = 0;
    // 此时v中的目标节点已经被删除了，很可能不含有关键码
    while(p->child[r] != v) r++; // 确定v是p的第几个孩子
    // 情况1： 左顾，向左兄弟借码
    if(r > 0) // 首先得有左兄弟
    {
        BTNodePos(T) ls = p->child[p->child.begin() + r - 1]; // v的左爹为y, ls的老幺为x
        if(ls->child.size() > (_order + 1) / 2) // 必须大于下限
        {
            v->key.insert(v->key.begin(), p->key[r - 1]);   // v向p借一个码y
            p->key[r - 1] = ls->key[ls->key.size() - 1];    // p向ls借一个码x
            v->child.insert(v->child.begin(), ls->child[ls->child.size() - 1]);//同时将x的右孩子过继给y
            ls->key.erase(ls->key.end() - 1);
            ls->child.erase(ls->child.end() - 1);
            if(v->child[0]) v->child[0]->parent = v;
            return ;
        }
    }
    // 情况2： 右盼，向右兄弟借码
    if(r < p->child.size() - 1)
    {
        BTNodePos(T) rs = p->child[p->child.begin() + r + 1]; // v的右爹为y，rs的老大为x
        if(rs->child.size() > (_order + 1) / 2) // 右孩子足够胖，大于下限就足够胖
        {
            v->key.insert(v->key.end(), p->key[r]); //
            p->key[r] = rs->key[0];
            v->child.insert(v->child.end(), rs->child[0]); // 将x的左孩子过继给y
            rs->key.erase(rs->key[0]);
            if(rs->child[0])
                rs->child[0]->parent = v;
            rs->child.erase(rs->child[0]);
        }
    }
    // 情况3： 左顾右盼失败，要么其没有左右兄弟(但不可能同时)，要么左右兄弟太瘦，此时需要从上面下来一个天使, 合并
    if(0 < r) // 和左兄弟合并，当然也可以先和右兄弟合并，随个人喜好
    {
        BTNodePos(T) ls = p->child[r - 1];
        ls->key.push_back(p->key[r - 1]);
        p->key.erase(p->key.begin() + r - 1);
        ls->child.push_back(v->child[0]);
        for(int i = 0; i < v->key.size(); ++i)
        {
            ls->key.push_back(v->key[i]);
            ls->child.push_back(v->child[i+1]);
        }
        if(v->child[0])
        {
            for(int i = 0; i < v->child.size(); ++i)
            {
                v->child[i]->parent = ls;
                delete v->child[i];
            }
            v->child.erase(v->child.begin(), v->child.end());
        }
        p->child.erase[p->child.begin() + r];
    }
    else// 和右兄弟合并
    {
        BTNodePos(T) rs = p->child[r + 1];
        rs->key.push_back(p->key[r]); // 把天使先合并过来
        p->key.erase(p->key.begin() + r);  //
        v->child.push_back(rs->child[0]);
        for(int i = 0; i < rs->key.size(); ++i)
        {
            v->key.push_back(rs->key[i]);
            v->child.push_back(rs->child[i+1]);
        }
        if(rs->child[0])
        {
            for(int i = 0; i < rs->child.size(); ++i)
            {
                rs->child[i]->parent = v;
                delete rs->child[i];
            }
            rs->child.erase(rs->child.begin(), rs->child.end());
        }
        p->child.erase[p->child.begin() + r];
    }
    solveUnderflow(p);
    return ;
}

B树总结

对于B树来说，可能经常遇到它，一直不太明白它比红黑树优秀在哪里。现在明白其主要功能在于减少树的高度

从而减少IO次数。

对于B树来说，主要掌握的就是其插入与删除。首先要会自己画，明白有哪些情况，然后怎么处理。知道这些后

编程只是实现而已。

  1. 插入：

    • 因为B树的搜索知道外部节点才会停止，所以插入都是发生在最底层的叶子节点。当插入的节点超过m-1之后

      就会需要重新调整。我们采取的策略是让其进行分裂，将中位关键码飞上去，然后原本的节点分为俩个关键码差不多的

      节点, 依次递归调整。

  2. 删除:
    • 对于删除来说，稍稍有些复杂，大致需要考虑俩个问题

      • 没法生下溢之前，因为要删除节点，所以要考虑节点后面的元素怎么弥补，仍然让B树保持有序性。这里我们

        采用之前BST使用的中序后继的方法，让删除统一在底层叶子节点发生。

      • 发生下溢之后，节点的关键码过于少，数量低于$\lceil \frac{m}{2} \rceil -1$，需要重新调整
        • 如果左右兄弟大于$\lceil \frac{m}{2} \rceil -1$这个数目，就可以配合他们共同的老爹进行旋转
        • 如果左右兄弟都不行，则让他们的老爹下来，将俩兄弟和老爹合并成一个新的节点。

原文地址：https://www.cnblogs.com/patientcat/p/9720329.html

时间： 2024-11-02 08:19:07

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