挑战程序设计竞赛 划分数,贝尔数,斯特灵数

斯特灵数：把n个数划分为恰好k个非空集合的个数，记为S(n,k)。且有：S(n,1)=S(n,n)=1。

有递推关系式:

S(n+1,k)=S(n,k?1)+kS(n,k?1)

贝儿数:把n个数划分为非空集合的所有划分数。有：

Bn=∑i=0nS(n,i)

贝尔数的递推公式：

Bn=∑k=0n(nk)Bk

书上的划分数：书上求的是：把n个相同的数划分为不超过m个集合的方法总数。由于这n个数是相同的，就不能算作∑ki=0S(n,i).书上给了这样一个dp的转移方程（定义dp[i][j]为j个数的i划分）：

dp[i][j]=dp[i][j?i]+dp[i?1][j]

严重显然正确，但是至今未明白原因。

附上书上代码:

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int M = 1009, INF = 0x3fffffff;
int n, m, dp[M][M];

int main(void) {
    while(cin >> n >> m) {
        dp[0][0] = 1;
        for(int i = 1; i <= m; i++) {
            for(int j = 0; j <= n; j++) {
                dp[i][j] = (j >= i ? dp[i][j - i] : 0) + dp[i - 1][j];
            }
        }
    }
    return 0;
}