数学随想之一抽样分布与总体分布

本文主要想说明三个问题：

一是样本的数字特征，二是样本方差和样本均值的方差的区别，三是三大分布怎样构造抽样分布。

（一）

为了简便，假设有一个正态分布总体ξ~N（µ，σ²），设想我们从中随机抽取n个样本，ξ_1，。。。ξ_n。

此时就有样本均值和样本方差了。

样本均值很好理解，不就是算术平均：

而样本方差呢，按之前理解方差不就是：

而实际上样本方差为：

差别在哪，分母对吧，实际上是n-1。当然肯定有童鞋记得统计学里说过样本方差的自由度就是n-1

好就算是n-1，那又是为什么呢？

这就要回归到问题的本质，我们抽样是为了什么？当然是为了用样本的性质估计总体的性质。

因此基于无偏估计的考虑，我们就用满足无偏性的S²作为样本方差，即S²满足E（S²）=σ²。数学证明见下面链接

PS：样本方差自由度为n-1的数学证明请复制链接 http://www.zhihu.com/question/20099757

好，我们知道了样本方差S² 

这时候我要问了样本均值的方差又是什么呢？

回想下我们研究样本的初衷：即是用样本统计量T（ξ_1，。。。ξ_n）去推断总体ξ的分布和数字特征。其中样本统计量实质上是随机变量的函数。

而样本方差和样本均值的方差差别就在于：

样本方差：它是与ξ_1，。。。ξ_n的离差平方和除以n-1形成的样本统计量，虽然它和一般意义的方差一样具有离差平方和的形态。

但是，请注意，它其实是按照离差平方和形态构造的样本统计量，它是一个随机变量，构造它的目的是估计总体方差；

样本均值的方差：样本均值也是个样本统计量，它是总体均值的无偏估计。而样本均值的方差其实就是样本均值这个随机变量的方差。

假设有总体ξ~N（µ，σ²），ξ_1，。。。ξ_n为来自总体的容量为 n 的样本，由于是简单随机抽样，样本相互独立且每一个都与总体同分布。

则对于正态总体ξ，其样本均值的分布可以求出，由于独立正态分布具有可加性，样本均值服从~N(µ，σ²/n)。

从分布可知样本均值的方差为σ²/n。

说起构造抽样分布，肯定要先说说统计学的三大分布：

(1)卡方分布

定义：

性质：

(2)T分布

定义：

性质：

(3)F分布

定义：

性质：

三大分布都和标准正态分布有密切关系呢，大家看

好了废话不多说，构造抽样分布吧

沿用上文假设：有一个正态分布总体ξ~N（µ，σ²），设想我们从中随机抽取n个样本，ξ_1，。。。ξ_n。

则样本均值服从~N(µ，σ²/n)，标准化后~N(0，1)。

（1）我们知道卡方分布是标准正态分布的平方和的形式，此时联想到样本方差存在平方和形式的随机变量函数

我们尝试把µ，σ²配进去，配成标准正态分布的形式。

最后得到即（n-1）S²/σ²~。这个就是样本方差的分布。

（2）我们会碰到已知总体ξ的均值µ，而不知道总体方差σ²的时候。

此时，我们自然无法这样求出~N(µ，σ²/n)。于是我们构造，对比下，就是用S代替了σ来求样本均值分布而已。

看造型，想到了吧，T分布。

=/~t(n-1)。

（3）还有个F分布，F分布构造的是已知方差σ²的两总体的样本方差比的分布

其中n₁和n₂分别是来自两总体的样本的样本容量。

当然，还可以用三大分布构造其他抽样分布，这要根据你具体的业务问题定。