Bestcoder Tom and matrix

问题描述

Tom放学回家的路上，看到天空中出现一个矩阵。Tom发现，如果矩阵的行、列从0开始标号，第i行第j列的数记为ai,j，那么ai,j=Cji
如果i < j，那么ai,j=0
Tom突发奇想，想求一个矩形范围内所有数的和。Tom急着回家，当然不会自己算，所以就把任务交给你了。
因为数可能很大，答案对一个质数p取模。

输入描述

输入包含多组数据（大约8组）。每组数据只有一行五个非负整数，x1、y1、x2、y2、p，你要求的是∑x2i=x1∑y2j=y1ai,j模p后的值。
x1≤x2≤105,y1≤y2≤105,2≤p≤109

输出描述

对于每组数据输出一行，答案模p。

输入样例

0 0 1 1 7
1 1 2 2 13
1 0 2 1 2

输出样例

3
4
1

对于一个 矩阵的排列组合，C(X1,Y1) +C(X1,Y1+1)+....+(C(X1,Y2)=C(X1+1,Y2)-C(X1，Y1+1)；        每一列都可以这样化，所以后面就是：C（X，Y）%P的问题，这里证明LUCAS定律C（X，Y）=【C(X/P,Y/P)+(X%P,Y%P）】%P；来自百度百科：

复习lucas

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 #include <queue>
 6 #include <vector>
 7 #include <cmath>
 8 #define LL long long
 9 using namespace std;
10 const int N = 100010;
11 const int mod = 1000000007;
12 LL f[N],num[N];
13 LL p;
14 void init()
15 {
16     f[0]=1;
17     for(int i=1;i<=N-5;i++)
18     {
19         int tmp=i;
20         num[i]=num[i-1];
21         while(tmp%p==0)
22         {
23             num[i]++;
24             tmp/=p;
25         }
26         f[i]=f[i-1]*tmp%p;
27     }
28 }
29
30 LL inv(LL a,LL n)
31 {
32     LL res=1;
33     a%=p;
34     while(n)
35     {
36         if(n&1)res=res*a%p;
37         a=a*a%p;
38         n>>=1;
39     }
40     return res;
41 }
42
43 LL calc(int a,int b)
44 {
45     if(a<b)return 0;
46     if(num[a]-num[b]-num[a-b])return 0;
47     else return f[a]*inv(f[b],p-2)%p*inv(f[a-b],p-2)%p;
48 }
49 //先提取出阶乘里面的P 后面才能求逆元
50 int main()
51 {
52     int x1,y1,x2,y2;
53
54     while(scanf("%d%d%d%d%I64d",&x1,&y1,&x2,&y2,&p)>0)
55     {
56         init();
57         LL ans=0;
58         for(int i=y1;i<=y2;i++)
59         {
60             ans=((ans+calc(x2+1,i+1)-calc(x1,i+1))%p+p)%p;
61         }
62         printf("%I64d\n",ans);
63     }
64 }

因为p是素数，所以a！=0 关于p的逆为 a^-1=a^(p-2)%p;小费马定理

‘因为p 很小 所以要先预处理 阶乘可不可过能能mod p==0;