傅立叶变换的深入理解(转帖）

专题讨论四：关于傅里叶变换的讨论[精彩]

有奖征集：大家讨论一下傅里叶变换相关的内容：

1 变换的目的，意义，应用。

2 傅里叶级数与傅里叶变换的差别和联系

3 连续傅里叶变换，离散时间傅里叶变换，离散傅里叶变换，序列的傅里叶变换，各自的定义，差别，联系。

3 高速傅里叶变换的实质，经常使用的算法之间的差别和联系，各自的优势。

4 fft的应用
讨论：

１、变换是时间变量函数变成相应变换域的某种变量函数，这样使运算简单，处理方便。变换域变换有ＦＴ（以频域特性为主要研究对象）、ＬＴ与ＺＴ（注重研究极点及零点分析）、ＤＴＦＴ、ＤＦＴ、ＦＦＴ、ＤＴＷＴ等。
２、傅立叶变换是非周期信号作为周期信号的傅立叶级数（FST）一种极限。
　　傅立叶级数—周期信号，傅立叶变换—非周期信号
３、非周期连续—— FT ——连续非周期
         连续周期—— FST ——非周期离散
         非周期离散——DTFT ——连续周期
         离散周期——DFT ——周期离散
         离散傅里叶变换（DFT）与序列傅里叶变换（DTFT）都跟Ｚ变换有关，DTFT是单位圆上的Ｚ变换，DFT是Ｚ变换在单位圆的均匀抽样。
4、高速傅里叶变换（FFT）的实质是“分而治之”，利用对称性、周期性和可约性将某些项合并，将DFT序列分解为短序列，降低运算次数，提高运算速度。
5、高速傅里叶变换的应用十分广泛，凡是能够利用傅里叶变换来进行分析、综合、变换的地方，都能够利用FFT算法及运用数字计算技术来加以实现。FFT在数字通信、语音分析、图像处理、匹配滤波等方面有广泛的应用。

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时域上看不清，在频域上或许会简单，因为T与F的倒数关系，T上的採样会在F上无限，反之也是如此。
宏观与微观之间的关系吧。

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从滤波关点看，复立叶变换相当于等宽带的Q值不等的滤波器组对信号进行滤波，採用常数Q的滤波器组则是小波分析
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傅里叶变换（FT）是一种将信号从时域变换到频域的变换形式。它在声学、电信、电力系统、信号处理等领域有广泛的应用。我们希望能在计算机上实现信号的频谱分析或其他工作。计算机对信号的要求是：在时域和频域都应该是离散的，并且都应该是有限长的。而傅里叶变换（FT）仅能处理连续信号，DFT就是应这样的须要而诞生的。它是傅里叶变换在离散域的表示形式。可是一般来说，DFT的运算量是非常大的。在1965年首次提出高速傅里叶变换算法FFT之前，其应用领域一直难以拓展，是FFT的提出使DFT的实现变得接近实时。DFT的应用领域也得以迅速拓展。除了一些速度要求非常高的场合之外，FFT算法基本上能够满足工业应用的要求。因为数字信号处理的其他运算都能够由DFT来实现，因此FFT算法是数字信号处理的重要基石。

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对傅立叶变换的理解

傅立叶变化是对信号的正交分解，e^jwt经过现行时不变系统后输出信号的形式不变，这不管在理论上还是实践上都有非常大的意义。在数字信号出现后，DFT的高速形式FFT实现了计算机处理信号，提高了它的有用价值。
傅立叶级数是傅立叶变换的特殊形式，其所处理的信号是周期的。假设取出周期信号的一个周期作为时域有限信号，对它的变换进行能够得到级数形式。在郑君里的《信号与系统》讲得非常透彻。
离散傅立叶变换和序列的傅立叶变换是同样的，
连续傅立叶变换（FT)时域和频域都是连续的（周期信号的变换频域离散），离散时间傅立叶变换(DTFT)时域离散，频域连续且周期，离散傅里叶变换(DFT)是对铁矾土的抽样。
个人这么认为
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傅立叶级数一般能够理解为：信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数
     傅里叶变换就是对模拟信号进行数字化傅里叶处理，以便信号在处理后运算更方便。

从物理方面来讨论
傅立叶变换是一个密度函数的概念，是一个连续谱，包括了从零到无限高，     频的全部频率分量， 各频率分量的频率不成谐波 关系
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还有一种说法，是我从别处看来的
1：（时域）周期信号的频谱是离散的；离散的时间信号即（时间）序列的频谱是周期的。2：傅里叶变换主要是针对连续时间信号，离散时间信号也能够应用；数字信号（离散时间信号）主要使用离散FT，因为便于数字运算。3：离散FT等效于FT在在频域採样，变换后在频域也是离散序列。这样更利于数字运算。4：有限长序列能够看成周期序列的一个周期，所以有限长序列与周期序列没有本质差别（实际上就是一样的）。这样不论在时域还是频域，都能够表示（有限长）。同一时候还能够FFT。

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从数学上看，离散傅立叶变换是一个特殊范德尔矩阵的变换，因为这样的矩阵能够分解，才存在高速算法。
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1.傅立叶分析的思想最早来自傅立叶对周期函数的研究,通过傅立叶级数能够把周期函数展开成无穷级数的形式.
之后一百多年随着电力,电子,计算机技术的逐渐发展,傅立叶分析也得到越来越广泛的应用.
对于变换的思想我认为根本来说是为了从不同的角度来认识信号,而对于不同的应用,也有不同的变换方法.
而与变换紧密相关的还有一个就是卷积的概念.

2.傅立叶级数是以三角函数或指数函数为基对周期信号的无穷级数展开.
假设把周期函数的周期取作无穷大,对傅立叶级数取极限即得到傅立叶变换.
除了针对的信号不同,对于傅立叶级数,得到的是信号的频谱(来源于物理学中谱的概念),而傅立叶变换得到的是信号的频谱密度.
当然,在引入冲击函数后,傅立叶级数是能够统一于傅立叶变换的.

3.傅立叶级数(FS)     相应时域连续周期信号
     傅立叶变换(FT)     相应时域连续非周期信号
     离散傅立叶级数(DFS)              相应时域离散周期信号
     离散时间傅立叶变换(DTFT)     相应时域离散非周期信号

离散傅立叶变换(DFT)     更确切的说是把一个离散非周期信号(N点长的序列)周期延拓成周期信号后,取傅立叶级数的主值区间得到的,所以是一种近似的变换,可是这样的方法却方便计算机计算,随后也就有了高速算法即高速傅立叶变换(FFT)

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DFT/FFT是将线性卷积转为循环卷积的有用工具，将卷积关系转为乘积关系,是绝大多数高速信号处理的出发点,差点儿长盛不衰

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近期毕设中用了下FFT的应用。
在信号分析中，通过傅立叶换能够在频率中非常easy的找出杂乱信号中各频率分量的幅度谱和相位谱。幅度谱可表示相应频率的能量，而相位谱可表示相应频率的相位特征。这在生理电信号分析，雷达信号中都有应用。

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FT就是在另外一个DOMAIN来表示信号

确定F 空间的每个点不仅要观察T 空间的一个点,并且要观察T 空间的全部的点以确定在该F 空间震动的强度(也就是频谱的数值)

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TD-SCDMA
midamble码信道预计利用了时域圆周卷积等效于频域点乘特性，用到FFT
uppch检測匹配滤波，循环相关，用到FFT

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对于连续时间周期信号而言，其Fourier级数就是他的一个周期的截取后的非周期信号的的傅立叶变换採样，连续时间信号採样后所得到的离散信号的DTFT可看成原来连续时间傅立叶变换在横轴做一下模拟——数字频率变换后进行周期延拓而成。离散傅里叶变换能够看成DTFT在主值区间（0到2*pi）的等间隔採样

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今天才注意到这个帖子，谈谈我对连续信号的看法：
对于时域上无限，频域上无限的连续信号，也就是最一般信号，
用傅里叶变换分析它（当然须要满足傅里叶变换存在的条件）。

对于时域上有限的连续信号，同样能够用傅里叶变换分析它，
可是用傅里叶级数的表示要简洁得多，傅里叶级数分解能够理解为信号在
频域上的採样。即时域傅里叶级数分解相应于频域採样。

对于频域上有限的连续信号，同样能够用傅里叶变换分析它，
可是用时域採样样本内插的表示要简洁得多，这事实上就是在频域上
对信号进行傅里叶级数分解。即时域採样相应于频域傅里叶级数分解。

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1.对于傅里叶级数，不管是连续信号或是离散信号，均是使用一组正交函数（正交集），对其进行加权求和，来逼近原始周期信号，通常来说，连续时间傅里叶级数的正交集中有无穷多个函数，而因为离散时间正交函数都是周期的，若周期为N，则离散时间傅里叶级数的正交集中仅仅有N个函数。
      在加权求和过程中所使用的加权系数就构成了周期信号的系数谱，对于连续周期信号，其系数谱是非周期的；而对于离散周期信号，其系数谱则是以N为周期的。

2.傅里叶变换体现了信号的时域与频域之间的一种变换关系，我们能够由傅里叶级数的表达式不是十分严格的推导出来，连续时间信号的频谱是非周期的，而离散时间信号的频谱则是以2*pi为周期延拓的。并且，我们能够看到，傅里叶级数的系数是相应主值区间的非周期信号频谱的採样值；换句话说，一个非周期其信号的频谱是这个信号周期延拓所得信号傅里叶级数系数的包络，两者在採样点上的值是相等的。
      值得注意的是，一个周期信号的傅里叶变换是在其基波频率整数倍上的一串冲击，加权系数恰好是信号傅里叶级数的系数。

3.DTFT与DFT的关系
     我们知道，一个N点离散时间序列的傅里叶变换（DTFT）所的频谱是以（2*pi）为周期进行延拓的连续函数，由採样定理我们知道，时域进行採样，则频域周期延拓；同理，假设在频域进行採样，则时域也会周期延拓。离散傅里叶变换（DFT）就是基于这个理论，在频域进行採样，一个周期内採N个点（与序列点数同样） ，从而将信号的频谱离散化，得到一的重要的相应关系：一个N点的离散时间信号能够用频域内一个N点序列来唯一确定，这就是DFT表达式所揭示的内容。

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我认为傅立叶的变换是对非周期信号的而言的　变换得到的是连续的谱密度函数　nw->W
在B P.lathi 的　线性系统与信号　（刘树樘译）中有具体的讲述

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付立叶变换是从付立叶级数推演而来的，付立叶级数是全部周期函数（信号）都能够分解成一系列的正交的三角函数，这样，周期函数相应的付立叶级数即是它的频谱函数，也就是分离的谱线。而为了分析非周期函数，引入了谱密度的概念，即非周期信号的谱函数无穷小，可是谱密度有值。这样，将非周期信号看成是周期无限长的周期信号，并引入F(t)/T，即为非周期函数的谱密度函数。为了概念上的统一，引入了冲激函数的概念，这样，周期信号也能够有付立叶变换，其谱密度函数为冲激。

付立叶变换对于连续时间信号的分析具有重要作用，用于分析信号的频率分量，或将信号在频域上进行处理。引用频域概念后，通信与数学的结合就更加紧密了。通信的发展事实上就是数学的发展。

至于离散付立叶变换，事实上也是对数字信号变换到频域进行分析处理，它对数字信号处理的作用相当大。数字信号处理脱离了模拟时期对信号进行处理全然依赖于器件的境况，能够直接通过计算来进行信号处理。如数字滤波器，仅仅是用系统的系数对进入的数字信号进行一定的计算，信号出系统后即得到处理后的数据在时域上的表达。

离散付立叶变换在理解上与连续信号的付立叶变换不太同样，主要是离散信号的付立叶变换汲及到周期延拓，以及圆周卷积等。

高速离散付叶变换事实上是一种对付立叶变换的算法，它的出现攻克了离散付立叶变换的计算量极大、不有用的问题，使付立叶变换的计算量降低了一个或几个数量级，从而使离散付立叶变换得到了广泛应用。另外，FFT的出现也攻克了相当多的计算问题，使得其他计算也能够通过FFT来解决。

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意义 傅里叶变换具有惟一性.傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系.讨论傅里叶变换的性质,目的在于
了解特性的内在联系; 用性质求F(ω); 了解在通信系统领域中的应用.

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傅氏级数与傅氏变换

眼下我们熟悉的是信号幅度随着时间变化而变化的常见表示方式，比方正弦信号的幅度随着时间按正弦函数的规律变化；还有一方面，对于正弦信号，假设知道其振幅、频率和相位，则正弦信号的波形也惟一确定。依据这个原理和傅里叶级数理论，满足一定条件的周期信号都能够分解为不同频率的正弦分量的线性组合，从而我们用各个正弦分量的频率-幅度、频率-相位来表示周期信号的描写叙述方式就称为周期信号的频谱表示，随着对信号研究的深入，我们将周期信号的频谱表示又推广到非周期信号的频谱表示，即通常的傅里叶变换。
对于周期信号，其频谱一般用傅里叶级数表示，而傅里叶级数的系数就称为信号的频谱.

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高速傅里叶变换

fast Fourier trans formation

　　进行有限离散傅里叶变换(DFT)的高速算法。简称FFT。一个复杂的波形能够分解为一系列谐波。针对这一物理现象，在数学上建立并发展了一套有效的研究方法，这就是傅里叶分析。利用电子计算机进行傅里叶分析，主要处理离散函数的傅里叶展开，也就是三角函数的插值问题 。一维DFT所作的工作主要是把一个N元数组A（i）（i＝0，1，…，N－1）通过一种线性变换变成还有一个N元数组X（i）（i＝0 ，…N ，-1 ） 。假设直接计算全部数组元素大约须要进行 N2次的乘法和加法运算，当N非常大时其计算量是非常惊人的 。1965年美国人库利和图基提出一种能大幅度降低运算次数的高速算法，即FFT算法 ，它的基本原 理是将一个变换分解为两个变换的乘积，并利用三角函数的周期性质，将原先的变换公式又一次组合为新的公式 ，从而把运算次数降低到 Nlog2N 的量级 。这就是说，FFT算法比DFT算法提高工效 N／log2N倍 ，比如N＝220时，约提高5万倍速度，可见当N非常大时，这是一个了不起的提高。FFT技术在谱分析、数字滤波、结构分析 、系统分析、图像与信号处理，以及物探、天线、雷达、卫星 、医疗等众多技术领域已获得成功的应用。

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１．这些变换的实质都一样,都是将一个复杂信号在一正交系中进行分解,不同在于选择的基不同.付氏变换选择的是复指数与三角基，小波变换选择了其他的基．
２.信号在时域与频域具有对偶性.一个域的周期性与连续性相应于还有一个域的与非周期，比方对于周期性信号连续信号，具绝对可积条件时，在能够进行级数展开，得到了离散的非周期频谱．
３．ＤＦＴ，ＤＴＦＴ，ＤＦＳ，ＦＦＴ的联系与差别
ＤＦＴ与ＦＦＴ是一个本质，ＦＦＴ是ＤＦＴ的一种算法．
ＤＦＳ是discrete fourier seriers,对离散周期信号进行级数展开.DFT是将DFS取主值,DFS是DFT的周期延拓.
DTFT是对Discrete time fourier transformation,是对序列的FT,得到连续的周期谱,而DFT,FFT得到是有限长的非周期离散谱,不是一个.

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傅立叶级数是周期信号的还有一种时域的表达方式，也就是正交的级数，它不同频率的波形的叠加。
而傅立叶变换就是全然的频域分析。

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