数学奥林匹克问题解答：初等数论-2

一个正整数的1000倍恰有1000个约数, 那么这个正整数自身最少有多少个约数?

解答：

设该正整数为 $n$, 由 $1000 = 2^3\times5^3$, 可设 $n = 2^a \times 5^b \times m$，

其中 $a, b\in\mathbf{N}$, $m\in\mathbf{N^*}$, 且 $m$ 不含素因子 $2$ 和 $5$.

再设 $m$ 有 $t$ 个约数, $n$ 有 $S(n)$ 个约数,

则 $1000n = 2^{a+3}\times 5^{b+3}\times m$

$\Rightarrow (a+4)\cdot(b+4)\cdot t = 1000$

$\Rightarrow S(n) = (a+1)\cdot(b+1)\cdot t = 1000\cdot \displaystyle{a+1\over a+4}\cdot {b+1\over b+4}$

注意到函数 $f(x) = \displaystyle{x+1\over x+4} = 1 - {3\over x+4}$ 随 $x$ 增大而增大.

故欲使 $S(n)$ 最小, 须使 $a, b$ 尽量小. 下面试解:

$a=0, b = 0\Rightarrow S(n) = 1000\times\displaystyle{1\over16}\notin\mathbf{Z}$;

$a = 0, b = 1\Rightarrow S(n) = 1000\times \displaystyle{1\over4} \times {2\over5} = 100$ 符合题意.

综上, 该正整数最少有 $100$ 个约数.

（赵胤解答于2016.05.24）