BZOJ 1297 迷路(矩阵快速幂)

很容易想到记忆化搜索的算法。 令dp[n][T]为到达n点时时间为T的路径条数。则dp[n][T]=sigma(dp[i][T-G[i][n]]); 但是空间复杂度为O(n*T),时间复杂度O(n*n*T).

虽然本题的n<=10,但T最大可到1e9。行不通。

如果题目中的边的权值非0即1的话，显然1-n的长度为T的路径中数为 该图的邻接矩阵的T次幂。

实际上题目中的边权值<10. 可以用拆点的方法转化为边权值非0即1的情况。

即 将图中的每个点拆成至多9个点，首先将每个点的第i个点和第i+1个点连一条权值为1的边。另外，如果原图中Eij=m，则将新图的第i个点拆成的第m点和j点的第一个点连一条权值

为1的边。这样就完全转化为我们可以解决的问题形式了。矩阵快速幂可以在O(n‘^3*logT)的时间内完成。

# include <cstdio>
# include <cstring>
# include <cstdlib>
# include <iostream>
# include <vector>
# include <queue>
# include <stack>
# include <map>
# include <set>
# include <cmath>
# include <algorithm>
using namespace std;
# define lowbit(x) ((x)&(-x))
# define pi 3.1415926535
# define eps 1e-9
# define MOD 100000007
# define INF 1000000000
# define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
# define FOR(i,a,n) for(int i=a; i<=n; ++i)
# define FO(i,a,n) for(int i=a; i<n; ++i)
# define bug puts("H");
# define lch p<<1,l,mid
# define rch p<<1|1,mid+1,r
# define mp make_pair
# define pb push_back
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
# pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
typedef long long LL;
int Scan() {
    int res=0, flag=0;
    char ch;
    if((ch=getchar())==‘-‘) flag=1;
    else if(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) res=ch-‘0‘;
    while((ch=getchar())>=‘0‘&&ch<=‘9‘)  res=res*10+(ch-‘0‘);
    return flag?-res:res;
}
void Out(int a) {
    if(a<0) {putchar(‘-‘); a=-a;}
    if(a>=10) Out(a/10);
    putchar(a%10+‘0‘);
}
const int N=2505;
//Code begin...

struct Matrix{int matrix[95][95];}a, sa, unit;
int n, T;
char G[11][11];

Matrix Mul(Matrix a,Matrix b) //矩阵乘法(%m)
{
    Matrix c;
    for (int i=0; i<9*n; ++i) for (int j=0; j<9*n; ++j) {
          c.matrix[i][j]=0;
          for (int l=0; l<9*n; ++l) c.matrix[i][j]+=a.matrix[i][l]*b.matrix[l][j];
          c.matrix[i][j]%=2009;
    }
    return c;
}
Matrix Cal(int exp)  //矩阵快速幂
{
    Matrix p=a, q=unit;
    if (exp==0) return p;
    while (exp!=1) {
        if (exp&1) exp--, q=Mul(p,q);
        else exp>>=1, p=Mul(p,p);
    }
    return Mul(p,q);
}
int main ()
{
    scanf("%d%d",&n,&T);
    FO(i,0,n) scanf("%s",G[i]);
    FO(i,0,n) FOR(j,0,7) a.matrix[i*9+j][i*9+j+1]=1;
    FO(i,0,n) FO(j,0,n) {
        if (G[i][j]==‘0‘) continue;
        a.matrix[i*9+G[i][j]-‘1‘][j*9]=1;
    }
    unit=a; sa=Cal(T-1);
    printf("%d\n",sa.matrix[0][9*(n-1)]);
    return 0;
}