行列式(二)：全排列与逆序数

由n阶行列式的定义可知，求行列式需要首先求解一个序列的全排列和逆序数

从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m=n时所有的排列情况叫全排列。

• 算法原理

　　1.假设有一个序列{1,2,3,4,5}，首先排列第一个元素，共有5种情况

　　{1,*,*,*,*}

　　{2,*,*,*,*}

　　{3,*,*,*,*}

　　{4,*,*,*,*}

　　{5,*,*,*,*}

　　2.单独分析1.中的第一种情况，排列第二个元素，共有四种情况

　　{1,2,*,*,*}

　　{1,3,*,*,*}

　　{1,4,*,*,*}

　　{1,5,*,*,*}

　　3.以此推类，依次排列第三，四和五个元素。即可求得序列的全排列

• VB.NET自定义方法

　　1.方法名:GetFullPerm(ByVal NumArray() As Integer, ByVal LeftIndex As Integer, ByRef Result As List(Of Array))

2.功能:传入一个一维数组和List (Of Array),求得该一维数组的全排列

3.参数:

　　NumArray:一维数组，要求全排列的序列

　　 LeftNum:当前求解的索引，调用方法时传入0即可

　    Result:List (Of Array),用于保存全排列的结果

    Private Sub GetFullPerm(ByVal NumArray() As Integer, ByVal LeftIndex As Integer, ByRef Result As List(Of Array))
        Dim temp As Integer
        If LeftIndex = NumArray.Length - 1 Then
            Dim tempArray(NumArray.Length - 1) As Integer
            NumArray.CopyTo(tempArray, 0)
            Result.Add(tempArray)
        Else
            temp = NumArray(LeftIndex)
            For i = LeftIndex To NumArray.Length - 1
                NumArray(LeftIndex) = NumArray(i)
                NumArray(i) = temp ‘对换
                GetFullPerm(NumArray, LeftIndex + 1, Result)
                NumArray(i) = NumArray(LeftIndex)
                NumArray(LeftIndex) = temp ‘还原对换
            Next
        End If
    End Sub

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数

• 算法原理

　　1.假设有一个序列{3,1,2,4,5}，首先求第一个元素的逆序数，T₁=0

2.依次求解第二，三，四和五位置的元素的逆序数，T₂=1,T₃=1,T₄=0,T₅=0

　　3.求得各位置元素逆序数的总和，T=T₁+T₂+T₃+T₄+T₅=2

• VB.NET自定义函数

　　1.函数名:GetInverseNum(ByVal NumArray() As Integer)

2.功能:传入一个一维数组,求得该一维数组序列的逆序数

3.参数:

　　NumArray:一维数组，要求逆序数的序列

    Private Function GetInverseNum(ByVal NumArray() As Integer)
        Dim Num As Integer = 0
        For i = 0 To NumArray.Length - 1
            For j = i To NumArray.Length - 1
                If NumArray(i) > NumArray(j) Then Num += 1
            Next
        Next
        Return Num
    End Function