掌握了容斥原理后,便会发现,这是一道简单的容斥原理的题。
题目描述:给定A, B, N (1 <= A <= B <= 10^15,1<=N
<= 10^9).求[A,B]区间内与N互素的数的个数
步骤:
(1)将问题化为求1~B,1~A中与N互素的数的个数的差,当然考虑到A可能与N互素的情况,在实际操作时,
即求1~A时最好改成求1~A-1(包含A-1);
(2)求N的质因子(可参考:http://blog.csdn.net/yzj577/article/details/38148087);
(3)直接运用容斥原理(关于容斥原理的知识,可参考:http://baike.baidu.com/view/573741.htm?fr=aladdin)
现在问题的关键是如何通过代码实现容斥原理,看到某博客说有三种可行的方法:dfs(深搜),队列数组,
位运算,而我们在课上讲的是用位运算来实现的,所以我在这里用位运算来做。
举例:
求1~50中与N=30互素的个数,30=2*3*5*,结果为50-50/2-50/3-50/5+50/(2*3)+50/(2*5)+50/(3*5)-50/(2*3*5)
如果用’0‘和’1‘标记2,3,5,为’1‘时要除50,为’0‘时不需,那么,二进制数000,001,010,011,······,111,
不就刚好对应上式中的2,3,5在除数中出现的情况,001—-2, 010—-3,011—-3*2,110—-5*3,111—-5*3*2······
也就是说,判断从1~7中每个数对应的二进制数的’0‘和’1‘出现的情况如何,第几位出现’1‘,对应的N的质因子
就要作除数,具体过程请参照下面代码。
参考代码:
<span style="font-size:14px;">#include<stdio.h> int prime[20],num; void suyin(int n) //求n的质因子 { int i; num=0; if (n%2==0) //先把偶数的情况考虑,下面就可以只判断奇数了 { prime[num++]=2; while(n%2==0) n/=2; } for (i=3;i*i<=n;i+=2) //大于n的开方的质因子最多只有一个,下面的(if (n>1) prime[num++]=n)就是判断这个质因子是否存在 { if (n%i==0) { prime[num++]=i; while (n%i==0) n/=i; } } if (n>1) prime[num++]=n; } long long husu(long long a,int m) { long long s,sum; int i,j; sum=a; for (i=1;i<m;i++) { s=1; for (j=0;j<num;j++) { if ((i>>j)&1==1) s=(-1)*s*prime[j];//每次按位右移后取最右边一位数判断 if ((i>>(j+1))==0) break; //如果已经是0了当然不用再判断了 } sum=sum+a/s; } return sum; } int main() { long long a,b,tot; int n,t,k=1,i; scanf("%d",&t); while (t--) { scanf("%I64d%I64d%d",&a,&b,&n); suyin(n); int m=(1<<num); //求最小的num+1位的二进制数,减一后就是最大num位的二进制数 tot=husu(b,m)-husu(a-1,m); printf("Case #%d: %I64d\n",k++,tot); } return 0; }</span>
总结:
看到这道题,自然联想到跟素数相关的知识,所以在做这道题之前,我忍不住整理一下关于素数的基本算法。
1、素数筛选法(求1~n的素数):http://blog.csdn.net/yzj577/article/details/38147433
2、验证素数:http://blog.csdn.net/yzj577/article/details/38145927
3、求一个数的质因子:http://blog.csdn.net/yzj577/article/details/38148087
4、求n个数(1~n)的质因子:http://blog.csdn.net/yzj577/article/details/38148205
参考网址:http://www.cnblogs.com/jiangjing/archive/2013/06/03/3115470.html