二次代价函数
$C = \frac{1} {2n} \sum_{x_1,...x_n} \|y(x)-a^L(x) \|^2$
其中,C表示代价函数,x表示样本,y表示实际值,a表示输出值,n表示样本的总数;整个的意思就是把n个y-a的平方累加起来,再除以2求一下均值。
为简单起见,先看下 一个样本 的情况,此时二次代价函数为:$C = \frac{(y-a)^2} {2}$
$a=\sigma(z), z=\sum w_j*x_j +b$ ,其中a就代表激活函数的输出值,这个符号$\sigma$代表sigmoid函数将变量映射到0-1的$S$型光滑的曲线,z是上一层神经元信号的总和
假如我们使用梯度下降发(Gradient descent)来调整权值参数的大小,权值w和权值b的梯度推到如下(求导数):
$\frac {\partial C} {\partial w} = (a-y)\sigma‘ (z)x$ $\frac {\partial C} {\partial b} = (a-y)\sigma‘ (z)$
其中,z表示神经元的输入,$\sigma$表示激活函数sigmoid。可以看出,w和b的梯度跟激活函数的梯度成正比,激活函数的梯度越大,w和b的大小调整越快,训练收敛的就越快。
假设我们激活函数输出的值目标是收敛到1,A点离目标较远,梯度较大,权值调整比较大。B点为0.98离目标比较近,梯度比较小,权值调整比较小,调整方案合理。
假设我们激活函数输出的值目标是收敛到0,A点离目标较远,梯度较大,权值调整比较大。B点为0.98离目标比较远,梯度比较小,权值调整比较小,调整方案不合理,B点要经过非常长的时间才会收敛到0,而且B点很可能成为不收敛的点。
交叉墒代价函数(cross-entropy)
由于上边的问题,我们换一种思路,我们不改变激活函数,而是改变代价函数,改用交叉墒代价函数:
$C = -\frac{1}{n} \sum_{x_1,,,x_n}, [y\ln a + (1-y) \ln(1-a)]$
其中,C表示代价函数,x表示样本,y表示实际值,a表示输出值,n表示样本的总数。
$a=\sigma(z), z=\sum w_j*x_j +b $ $ \sigma‘(z) = \sigma(z)(1-\sigma (x))$ sigmod函数的导数比较好求,这也是为什么大家用sigmoid做激活函数的原因,接下来我们看一下求导的过程
懒得敲了,直接贴个图过来,之后闲了在敲一遍,上边就是求导的推导过程,从最后的式子可以看出:权值w和偏执值b的调整与$\sigma ‘(z)$无关,另外,梯度公式中的$\sigma (z)-y$表示输出值与实际值放入误差。所以当误差越大时,梯度就越大,参数w和b的调整就越快,训练的速度也就越快。
总结:当输出神经元是线性的,那么二次代价函数就是一种合适的选择。如果输出神经元是S型函数,那么比较适合交叉墒代价函数。
对数似然代价函数(log-likelihood cost)
对数似然函数常用来作为softmax回归的代价函数,如果输出层神经元是sigmoid函数,可以使用交叉墒代价函数。而深度学习中更普遍的做法是将softmax作为最后一层,此时常用的代价函数是对数似然代价函数。
对数似然代价函数与softmax的组合和交叉墒与sigmoid函数的组合非常相似。对数似然代价函数在二分类时可以化简为交叉墒代价函数的形式。
在TensorFlow中用:
tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits()来表示跟sigmoid搭配使用的交叉墒。
tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits()来表示跟softmax搭配使用的交叉墒。
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