动态规划 - 0-1背包问题

0-1背包问题描述如下：

有一个容量为V的背包，和一些物品。这些物品分别有两个属性，体积w和价值v，每种物品只有一个。要求用这个背包装下价值尽可能多的物品，求该最大价值，背包可以不被装满。因为最优解中，每个物品都有两种可能的情况，即在背包中或者不存在（背 包中有0个该物品或者 1个），所以我们把这个问题称为0-1背包问题。

用dp[i][j]表示前i个物品在总体积不超过j的情况下，放到背包里的最大价值。由此可以推出状态转移方程：

dp[0][j] = 0;

dp[i][j] = max{dp[i-1][j-v[i]] + w[i],dp[i-1][j]};

上面的式子应该很好理解，当第i物品的体积小于当前剩余的体积，则说明可以装入背包，那么dp[i][j] = dp[i-1][j-v[i]]+w[i]。反之就是不能转入背包，dp[i][j] = dp[i-1][j]。

#include <iostream>
using namespace std;

#define MAXSIZE 100
int w[MAXSIZE];
int v[MAXSIZE];
int maxv;
int n;
int dp[MAXSIZE][MAXSIZE];

int max(int a, int b)
{
    if (a > b)
        return a;
    else
        return b;
}

int main()
{
    cin >> n >> maxv;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> w[i] >> v[i];
    }
    for (int i = 0; i <= maxv; i++)
        dp[0][i] = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        //只有当j >= w[i],dp[i][j]才能进行选取最大值
        for (int j = maxv; j >= w[i]; j--)
        {
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
        }

        //当j < w[i]，说明第i个物品是不能转入背包的，故dp[i][j] = dp[i-1][j]
        for (int j = w[i] - 1; j >= 0; j--)
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
    }

    cout << dp[n][maxv] << endl;
    return 0;
}