008-算法-分支界限法

一、概念：与贪婪法一样，这种方法也是用来为组合优化问题设计求解算法的，所不同的是它在问题的整个可能解空间搜索，所设计出来的算法虽然时间复杂度比贪婪算法高，但它的优点是与穷举法类似，都能保证求出问题的最佳解，而且这种方法不是盲目的穷举搜索，而是在搜索中通过界限，可以中途停止对某些不可能得到的最优解的子空间。进一步搜索（类似人工智能中的剪枝），故它比穷举法效率更高。

二、基本思路：

分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。 此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。

常见的两种分支限界法

（1）队列式(FIFO)分支限界法

    按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个结点为扩展结点。

（2）优先队列式分支限界法

    按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的结点成为当前扩展结点。

demo:

支界限算法 - 具体问题（背包问题）

在历届NOIP竞赛中，有4道初赛题和5道复赛题均涉及到背包问题，所谓的背包问题，可以描述如下：

一个小偷打劫一个保险箱，发现柜子里有N类不同大小与价值的物品，但小偷只有一个容积为M的背包来装东西，背包问题就是要找出一个小偷选择所偷物品的组合，以使偷走的物品总价值最大。 
如有4件物品，容积分别为： 3 4 5 8 
对应的价值分别为： 4 5 7 10 
小偷背包的载重量为：12 
则取编号为1 2 3的物品，得到最大价值为16。

* 0/1背包问题的分支定界法算法*/ #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #define MAXNUM 100 struct node { int step ; double price ; double weight ; double max,min ; unsigned long po ; } ; typedef struct node DataType ; struct SeqQueue { /* 顺序队列类型定义 */ int f,r ; DataType q[MAXNUM]; } ; typedef struct SeqQueue*PSeqQueue ; PSeqQueue createEmptyQueue_seq(void) { PSeqQueue paqu ; paqu=(PSeqQueue)malloc(sizeof(struct SeqQueue)); if(paqu==NULL) printf("Out of space!! \n"); else paqu->f=paqu->r=0 ; return paqu ; } int isEmptyQueue_seq(PSeqQueue paqu) { return paqu->f==paqu->r ; } /* 在队列中插入一元素x */ void enQueue_seq(PSeqQueue paqu,DataType x) { if((paqu->r+1)%MAXNUM==paqu->f) printf("Full queue.\n"); else { paqu->q[paqu->r]=x ; paqu->r=(paqu->r+1)%MAXNUM ; } } /* 删除队列头元素 */ void deQueue_seq(PSeqQueue paqu) { if(paqu->f==paqu->r) printf("Empty Queue.\n"); else paqu->f=(paqu->f+1)%MAXNUM ; } /* 对非空队列,求队列头部元素 */ DataType frontQueue_seq(PSeqQueue paqu) { return(paqu->q[paqu->f]); } /* 物品按性价比从新排序*/ void sort(int n,double p[],double w[]) { int i,j ; for(i=0;i<n-1;i++) for(j=i;j<n-1;j++) { double a=p[j]/w[j]; double b=p[j+1]/w[j+1]; if(a><b) { double temp=p[j]; p[j]=p[j+1]; p[j+1]=temp ; temp=w[j]; w[j]=w[j+1]; w[j+1]=temp ; } } } /* 求最大可能值*/ double up(int k,double m,int n,double p[],double w[]) { int i=k ; double s=0 ; while(i><n&&w[i]><m) { m-=w[i]; s+=p[i]; i++; } if(i><n&&m>0) { s+=p[i]*m/w[i]; i++; } return s ; } /* 求最小可能值*/ double down(int k,double m,int n,double p[],double w[]) { int i=k ; double s=0 ; while(i<n&&w[i]><=m) { m-=w[i]; s+=p[i]; i++; } return s ; } /* 用队列实现分支定界算法*/ double solve(double m,int n,double p[],double w[],unsigned long*po) { double min ; PSeqQueue q=createEmptyQueue_seq(); DataType x= { 0,0,0,0,0,0 } ; sort(n,p,w); x.max=up(0,m,n,p,w); x.min=min=down(0,m,n,p,w); if(min==0)return-1 ; enQueue_seq(q,x); while(!isEmptyQueue_seq(q)) { int step ; DataType y ; x=frontQueue_seq(q); deQueue_seq(q); if(x.max<min)continue ; step=x.step+1 ; if(step==n+1)continue ; y.max=x.price+up(step,m-x.weight,n,p,w); if(y.max>=min) { y.min=x.price+down(step,m-x.weight,n,p,w); y.price=x.price ; y.weight=x.weight ; y.step=step ; y.po=x.po<<1 ; if(y.min>=min) { min=y.min ; if(step==n)*po=y.po ; } enQueue_seq(q,y); } if(x.weight+w[step-1]<=m) { y.max=x.price+p[step-1]+ up(step,m-x.weight-w[step-1],n,p,w); if(y.max>=min) { y.min=x.price+p[step-1]+ down(step,m-x.weight-w[step-1],n,p,w); y.price=x.price+p[step-1]; y.weight=x.weight+w[step-1]; y.step=step ; y.po=(x.po<<1)+1 ; if(y.min>=min) { min=y.min ; if(step==n)*po=y.po ; } enQueue_seq(q,y); } } } return min ; } #define n 4 double m=15 ; double p[n]= { 10,10,12,18 } ; double w[n]= { 2,4,6,9 } ; int main() { int i ; double d ; unsigned long po ; d=solve(m,n,p,w,&po); if(d==-1) printf("No solution!\n"); else { for(i=0;i<n;i++) printf("x%d is %d\n",i+1,((po&(1><<(n-i-1)))!=0)); printf("The max weight is %f\n",d); } getchar(); return 0 ; }

008-算法-分支界限法