范围最小值问题（Range Minimum Query，RMQ）

问题描述

给定一个n个元素的序列{A1，A2，……，An}，在要求的区间Query（L,R）内找到最小值：min{A_L,A_L+1,……,A_R}。hiho16

算法描述

在这里介绍最常用的Tarjan的Sparse-Table算法，它的预处理时间复杂度为O(nlogn)，而查询时间只需要O(1)。令calc(i,j)表示从i开始的，长度为2^j 的一段子序列的最小值，则使用循环的方式计算：calc[i][j] = min(calc[i][j-1],calc[i+2^j-1)][j-1])，代码如下：

void RMQ_init(void){
    int index = floor(log(n) / log(2));
    for (int j = 1; j <= index; j++) {
        for (int i = 1; i+(1<<j)-1<=n; i++){
            calc[i][j] = min(calc[i][j-1],calc[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}

注：这里序列从索引1开始。

预处理完成后，如何使用该信息呢，对于一个查询[L,R]，只要找到小于这个区间长度的最大的2的非负整数次幂的指数——j，那么这个区间中的最小值就是min{calc[L][j], calc[R-2^j+1][j]}，通过这两段区间可以覆盖整个[L,R]区间，同时即使两端区间有交集也不影响最小值的确定。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#define SIZE 1000005
using namespace std;
int arr[SIZE];
int calc[SIZE][20];
int n, q;
void RMQ_init(void){
    int index = floor(log(n) / log(2));
    for (int j = 1; j <= index; j++) {
        for (int i = 1; i+(1<<j)-1<=n; i++){
            calc[i][j] = min(calc[i][j-1],calc[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}
int main(void) {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d", arr + i);
        calc[i][0] = arr[i];
    }
    RMQ_init();
    scanf("%d", &q);
    int l, r;
    for (int i = 0; i < q; i++){
        scanf("%d%d", &l, &r);
        int j = floor(log(r - l + 1) / log(2));
        int rr = r - (1<<j) + 1;
        printf("%d\n", min(calc[l][j], calc[rr][j]));
    }
    return 0;
}