堆 续4

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索引堆

这里介绍一个比普通堆更加高级的数据结构：索引堆（Index Heap）

首先来看一下普通堆有什么问题 或 缺点：

将一个数组通过 Heapify 构建成一个堆，对于这个数组而言，

在堆构建前和堆构建后，它的元素位置发生了改变，正是因为

元素位置的改变，才使得它被看做是一个堆

但在构建堆的过程中，改变元素的位置将会有一些局限性：

（1）如果元素是非常复杂的结构，如：元素是字符串，那么交换这些元素

本身，消耗就是巨大的

比如说：如果每一个元素都是一篇有十万字的文章，那么对于这些巨型的字

符串，让它们来回交换会产生大量的性能上的消耗

不过这种性能上的消耗，还可以使用技术手段来解决，另一个问题可能相对

就更加致命

（2）由于元素在数组中的位置发生了改变，使得堆建成以后很难索引到它，

当难以索引到元素时，就很难去改变它

比如说：这个数组里的元素表示一个一个的系统任务，可能在初始的

时候，索引表示进程的 ID 号（从 1 开始），元素表示的是优先级

（每一个进程都表示一个系统任务）

可是当把这个表示系统任务的数组构建成堆之后，这些元素的索引和

系统任务之间就不再产生关联了

如果现在想提升原来进程的 ID 号为 6 的那个系统任务的优先级，应

该怎么做？

这个操作就变的非常难，在以前的数组中，可以用 O(1) 的性能效率

直接将这个任务提取出来，但当把它组建成堆以后，元素的位置发生

了改变，索引不到了

有人可能会说，在这个元素里再添加一个属性，来表示 ID 号就好了

这样的确可以解决，但要将整个数组遍历一遍，才能够找到相应的进

程，这个性能也是低效的

为此，就需要引入索引堆来解决这个问题

什么是索引堆？

其实非常简单，对于索引堆来说：

数据 data 和索引 index 这两部分内容分开存储，而真正表征

堆的数组是由索引 index 构建成的

以最大索引堆为例（索引从 1 开始）：

数组在初始情况下：

当将数组构建成堆以后：

对于 data 域来说，它们没有发生任何改变，真正改变的是 index 域，

这个 index 数组发生了改变，形成了一个堆

这个堆怎么解读呢？堆顶的元素为 10，实际指向的是 10 这个 index

所指向的 data，也就是 62，相应的堆顶元素有左孩子和右孩子，左

孩子的元素为 9，实际指向的是 41，右孩子的元素是 7，实际指向的

是 28 … 依此类推

这样一来，可以观察到索引堆的两个好处：

（1）构建堆的过程只是索引 index 的位置发生交换

索引 index 就是一个简单的 int 型，如果数据 data 是非常复杂的结构，

只交换 int 型的索引 index，交换效率非常高

（2）如果现在想对堆中的数据进行一个操作，如：修改 index 为 7 的

data，也就是 28，修改完后，相应的还要做一些维护的操作来维持堆

的性质，那么维持堆的性质只是根据新的 data 数组来改变 index 数组

即可

简而言之：索引堆比较的是 data，交换的是 index

索引堆的优化

在修改数据 data 时是从外部传入进来一个索引来修改 data 数组，

而在维护索引堆的过程中，要先用 O(n) 的时间来遍历 index 数组

找到传入进来的索引的位置

如果要修改 n 个 data，算法的时间复杂度就是 O(n^2) 级别的

所以可以通过 反向查找 的方式来进行优化，在查找时就可以直接

用 O(1) 的时间找到传入进来的索引在 index 数组中的位置

如果要修改 n 个 data，算法的时间复杂度就是 O(n*lgn) 级别的

以最大索引堆为例（索引从 1 开始）：

其中：reverse[i] 表示 index 为 i 的值在堆中的位置

另，有公式如下：

（1）index[i]=j

（2）reverse[j]=i

（3）index[reverse[i]]=i

（4）reverse[index[i]]=i

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