动态规划[入门]1- 最大子矩阵和

分析

我们已经解决了一维的问题（基础篇中的最大子段和问题），现在变成二维了，我们看看能不能把这个问题转化为一维的问题。最后子矩阵一定是在某两行之间的。假设我们认为子矩阵在第i行和第j列之间，我们如何得到i和j呢，对，枚举。  枚举所有1<=i<=j<=M,表示最终子矩阵选取的行范围。

我们把每一列第i行到第j行之间的和求出来，形成一个数组c,于是一个第i行到第j行之间的最大子矩阵和对应于这个和数组c的最大子段和。于是，我们的算法变为：

for i = 1 to M do
	for j = i to M do
		//计算第每列第i行到第j列的和
		 for k = 1 to N do
			c[k] = (j == i)?a[i][k] : (c[k] + a[j][k])
		 endfor
                         //求c的最大子段和 记录全局最优结果
	endfor
endfor

我们看看标为红色的部分 就是求每列第i行到第j行之间的所有数的和，我们没有再用一个循环求，而是随着j的增长，每次把第j行的结果叠加到之前的和上。 另外求c的最大子数组和是个线性时间算法，实际上它可以和那个k的for循环合并在一起，不过不影响时间复杂度。时间复杂度是O(M^2N)。

最后，我们来提供输入输出数据，由你来写一段程序，实现这个算法，只有写出了正确的程序，才能继续后面的课程。

输入

第1行：M和N，中间用空格隔开（2 <= M,N <= 500)。
第2 - N + 1行：矩阵中的元素，每行M个数，中间用空格隔开。(-10^9 <= M[i] <= 10^9)

输出

输出和的最大值。如果所有数都是负数，就输出0。

输入示例

3 3
-1 3 -1
2 -1 3
-3 1 2

输出示例

7