动态规划第4讲——计数问题中的DP算法

DP不仅广泛用于各种最优化问题，也常常用于排列组合的个数、概率期望计算等等，因为这些问题往往具有很好的“ 重叠子问题”特性，这些问题往往都起源于排列组合中的组合公式A(n, k) = A(n-1, k) + A(n-1, k-1)

例一：求解划分数

有n个无差别的物品，将他们划分成不超过m组，求划分方法数除以M的余数。

分析：dp[i][j]j的i划分的总数

dp[i][j] = dp[i][j-i] + dp[i-1][j] 物理意义：将j个物品分成i份，有两种情况：每份划分都大于等于1 dp[i][j-i]; 存在有一份以上用0划分dp[i-1][j]

例二：有n种物品，第i种有a[i]个，从中选取m个，有多少种不同的选择方法？

dp[i+1][j]:从[0, i]号物品中选取j个物品的方法。

dp[i+1][j] = dp[i][j] + dp[i+1][j-1]

这是我们很直观想到的一个递推关系：dp[i][j]：从i号物品中选0个， dp[i+1][j-1]从i号物品中至少选择1个

实际上，由于是多重集而不是完全集合，因为我们已经选取了一个i号物品，所以dp[i+1][j-1]表示的不是从i号物品中选择至少一个的数目，因为dp[i+1][j-1]包含了选取a[i]个i号物品，而实际上，这种情况是因该去掉的（因为i号物品的数量已经是a[i]-1了）。so, 结果的基础上，需要减去dp[i][j-a[i]-1],也就是

dp[i+1][j] = dp[i][j] + dp[i+1][j-1] - dp[i][j-1-a[i]];