[偏微分方程教程习题参考解答]目录

1. 求下列一阶线性齐次偏微分方程的特征线: (1). $\dps{x\frac{\p u}{\p x} +2y\frac{\p u}{\p y} +3z\frac{\p u}{\p z}=0}$. 解答: 特征方程为 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=x,\quad \frac{\rd y}{\rd t}=2y,\quad \frac{\rd z}{\rd t}=3z, \eex$$ 而特征线为 $$\bex x(t)=C_1e^t,\quad y(t)=C_2e^{2t}

1. 求解下列方程的通解: (1). $\dps{z\frac{\p z}{\p x} -y\frac{\p z}{\p y}=0}$. 解答: 全特征线为 $$\bex \frac{\rd x}{z} =\frac{\rd y}{-y}=\frac{\rd z}{0}, \eex$$ 由 $$\beex \bea \rd\frac{x}{z} =\frac{\rd x}{z}-\frac{x}{z^2}\rd z =\frac{\rd x}{z} =\frac{\rd y}{-y}&\ra \

1. 判别方程组 $$\bex \sedd{\ba{ll} u_t=a(x,t)u_x-b(x,t)v_x+c_1(x,t)\\ v_t=b(x,t)u_x+a(x,t)v_x+c_2(x,t) \ea} \eex$$ 属哪种类型. 解答: 对应的 $A=(a_{ij})$ 为 $$\bex A=\sex{\ba{cc} -a&b\\-b&-a \ea}\ra |\lm E-A|=(\lm +a)^2+b^2>0, \eex$$ 而 $A$ 没有实特征值, 原方程组是椭圆型. 2.

在下列各题中, 设 $\dps{p=\frac{\p u}{\p x},\ q=\frac{\p u}{\p y}}$. 1. 求解下列初值问题: (1). $\dps{\sedd{\ba{ll} pq=u,&x>0,\ y\in\bbR\\ u|_{x=0}=y^2 \ea}}$. 解答: 首先将初始条件写成参数形式 $$\bex x_0=0,\quad y_0=s,\quad u_0=s^2. \eex$$ 联合 ($F=pq-u$) $$\bex u_0'(s)-p_0(s)x_0'(

1. 考虑 Poisson 方程的 Neumann 边值问题 $$\bex \sedd{\ba{ll} \lap u=f(x,y,z),&(x,y,z)\in\Omega,\\ \frac{\p u}{\p n}|_{\vGa}=0,&(x,y,z)\in\vGa. \ea} \eex$$ (1). 问上述边值问题的解是否唯一? (2). 由散度定理证明上述边值问题有解的必要条件是 $$\bex \iiint_\Omega f(x,y,z)\rd x\rd y\rd z=0. \eex$$

1. 写出下列方程的特征方程及特征方向: (1). $u_{x_1x_1}+u_{x_2x_2}=u_{x_3x_3}+u_{x_4x_4}$. 解答: 特征方程为 $$\bex \al_1^2+\al_2^2-\al_3^2-\al_4^2=0. \eex$$ 又 $$\bex \al_1^2+\al_2^2+\al_3^2+\al_4^2=1. \eex$$ 我们得到特征方向为 $$\bex \sex{\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\al,\frac{1}{\sqrt{2}}\

1. 求解下列方程的通解: (1). $\dps{\frac{\p u}{\p x}+\frac{\p u}{\p y}+\frac{\p u}{\p z}=0}$. 解答: 特征方程为 $$\bex \frac{\rd x}{1}=\frac{\rd y}{1}=\frac{\rd z}{1}, \eex$$ 而有两个相互独立的首次积分 (本书中叫初积分) $$\bex x-y=C_1,\quad y-z=C_2. \eex$$ 于是原方程的通解为 $$\bex u=\varPhi(x-y,y

1. 有一柔软的均匀细线, 在阻尼介质中作微小横振动, 单位长度弦受的阻力 $F=-Ru_t$. 试推导其振动方程. 解答: $$\bex \rho u_{tt}=Tu_{xx}-Ru_t. \eex$$ 2. 设三维热传导方程具有球对称形式 $u(x,y,z,t)=u(r,t)$ ($r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$) 的解, 试证: $$\bex u_t=a^2\sex{u_{rr}+\frac{2u_r}{r}}. \eex$$ 证明: 由 $$\bex u_x=u_r\frac

1. 指出下列方程的阶并判断它是线性的, 还是非线性的, 如果是线性的, 说明它是齐次的, 还是非齐次的. (1). $u_t-(u_{xx}+u_{yy})+1=0.$ 解答: 这是二阶线性非齐次方程. (2). $u_t-u_{xx}+xu=0$. 解答: 这是二阶线性齐次方程. (3). $u_t-u_{xxt}+uu_x=0$. 解答: 这是三阶半线性方程. (4). $u_x^2+uu_y=0$. 解答: 这是一阶完全非线性方程. (5). $u_{tt}-u_{xx}+t^2+x^2