题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1407
题意：
有n个野人，野人各自住在第c[i]个山洞中（山洞成环状），每年向前走p[i]个山洞，到这个山洞住下来。
每个野人的寿命为l[i]，问至少需要多少个山洞，才能让野人在有生之年永远不住在同一个山洞。
题解：
原本不会拓展欧几里得和同余方程，在这里尽量详细地写一下由这题学到的东西。
我原本是从网上看各类题解然后打的，因为不理解和某些题解上的错误，导致调了很久。
下面写我的题解，如有错误，敬请指出。
设山洞的数量为m。
首先，对于n=2时，若相遇，则得同余方程 c[i]+x*p[i] = c[j]+x*p[j] (mod m)
移项，得：(p[i]-p[j])*x=c[j]-c[i] (mod m)
即：(p[i]-p[j])*x + m*y = c[j]-c[i]
则由于p[i]-p[j]、m、c[j]-c[i]已知，该方程相当于 a*x+b*y=c，可用拓展欧几里得求解。
若该方程无解，或x小于l[i]且x小于l[j]（注意是并且的关系，因为一个死了一个活着也是不能相遇的）,则不会相遇。
所以，由于n<=15，可以从max(c[i])开始枚举m（因为开始时野人都不在同一个山洞，max(c[i])一定大于等于n），两两匹配，若都不能相遇，则当前的m值为最小整数解。
相关： 用拓展欧几里德算法求不定方程 a*x + b*y = c:
推荐一篇很好的博文：http://www.cnblogs.com/Rinyo/archive/2012/11/25/2787419.html
如果c不是gcd(a,b)的倍数，则该方程无解。
证明：
设g=gcd(a,b)，则a=a‘g，b=b‘g
ax+by=c可化为g(a‘x+b‘y)=c
由于g、(a‘x+b‘y)、c都是整数，所以c必然是g的倍数。
拓展欧几里得：
int exgcd(int a,int b)
{
if (b == 0) { x=1,y=0; return a; }
int t = exgcd (b,a%b,x,y);
int x0 = x , y0 = y;
x = y0; y = x0-(a/b)*y0;
return t;
}
证明：
ax + by = gcd(a,b)
bx‘+(a%b)y‘=gcd(b,a%b)
因为gcd(a,b) = gcd(b,a%b)
所以ax+by = bx‘+(a%b)y‘
代入a%b = a - ⌊a/b⌋*b (⌊⌋是向下取整符号)
ax + by = bx‘ + (a - ⌊a/b⌋*b)y‘
ax + by = ay‘ + b(x‘-⌊a/b⌋y‘)
所以： x = y‘ y = x‘-⌊a/b⌋*y‘
回溯即可得出答案。
此处求出的x和y是一组可行解，可以利用通式
x = x‘ + k*b
y = y‘ + k*b
求出最小整数解。
注意：ax + by = c 求的是c是gcd(a,b)的倍数时的解。
方法一：
方程两边同时除以g
a‘=a/g b‘=b/g c‘=c/g
得a‘x+b‘y=c‘
用拓展欧几里德算法求解a‘x‘+b‘y‘=1
则 x = x‘*c‘ y = y‘*c‘
这时，在用通式求最小整数解时加减的应是b‘
方法二：
我们可以直接求出ax’ + by’ =1
则 x = x‘*c/g y = y‘ * c/g
这时应注意，在求通式求最小整数解加减的仍应是b/g。（注意！）
代码如下：
1 #include<cstdio>
2 #include<cstdlib>
3 #include<cstring>
4 #include<iostream>
5 using namespace std;
6
7 const int N=20,M=1000010;
8 int n;
9 int cc[N],p[N],l[N];
10
11 int maxx(int x,int y) {return x>y ? x:y;}
12 int minn(int x,int y) {return x<y ? x:y;}
13 int myabs(int x) {return x>0 ? x:-x;}
14
15 int gcd(int a,int b)
16 {
17 if(b==0) return a;
18 return gcd(b,a%b);
19 }
20
21 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
22 {
23 if(b==0) {x=1,y=0;return ;}
24 exgcd(b,a%b,x,y);
25 int x0=x,y0=y;
26 x=y0;y=x0-(a/b)*y0;
27 return ;
28 }
29
30 bool check(int m)
31 {
32 for(int i=1;i<=n-1;i++)
33 for(int j=i+1;j<=n;j++)
34 {
35 int a=p[i]-p[j];
36 int b=m;
37 int c=cc[j]-cc[i];
38
39 int g=gcd(a,b);
40 if(c%g) continue;
41 a/=g;b/=g;c/=g;//b在此处可能变为负
42 int x,y;
43 exgcd(a,b,x,y);
44 x=x*c;y=y*c;
45 while(x>0) x-=myabs(b);
46 while(x<=0) x+=myabs(b);
47 if(x<=minn(l[i],l[j])) return 0;//
48 }
49 return 1;
50 }
51
52 int main()
53 {
54 scanf("%d",&n);
55 int mx=n;
56 for(int i=1;i<=n;i++)
57 {
58 scanf("%d%d%d",&cc[i],&p[i],&l[i]);
59 mx=maxx(mx,cc[i]);
60 }
61 for(int i=mx;i<=M;i++)
62 {
63 if(check(i)) {printf("%d\n",i);break;}
64 }
65 return 0;
66 }