Sdoi2015约数个数和题解莫比乌斯反演

题目描述

• T组数据，求ΣNi=1ΣMj=1d(ij)，d(x)代表x的约数个数。
• 1≤N,M,T≤105

题解

• 首先，膜拜一下PoPoQQQ大神及其题解
• 然后，有一个神奇的结论：ΣNi=1ΣMj=1d(ij)=ΣNi=1ΣMj=1[Ni][Mj][gcd(i,j)=1]

  要证上式，只需证d(nm)=Σi|nΣj|m[gcd(i,j)=1]，因为上式即为该式的前缀和形式。

  分开考虑每个质数p对答案的贡献。设n=n′pk1,m=m′pk2，那p对d(nm)的贡献就是k1+k2+1，对等式右边的贡献是有序数对(i,j)中的(pk1,1)(pk1?1,1)(pk1?2,1)…(1,1)(1,p)…(1,pk2?1)(1,pk2)也是k1+k2+1，所以原式得证。

• 再令f(x)=Σxi=1[xi]，显然有f(x)=d(x)，因为f(x)相当于把i=1→x对d(x)的贡献求和，就是d(x)本身
• 然后可以莫比乌斯反演了：

  ans=ΣNi=1ΣMj=1[Ni][Mj][gcd(i,j)=1]=ΣNi=1ΣMj=1Σk|gcd(i,j)μ(k)[Ni][Mj]=ΣNk=1Σ[Nk]i=1Σ[Mk]j=1μ(k)[Nki][Mkj]=ΣNk=1μ(k)Σ[Nk]i=1[Nki]Σ[Mk]j=1[Nkj]=ΣNk=1μ(k)f([Mk])f([Mk])=ΣNk=1μ(k)d([Nk])d([Mk])

• 然后用筛法筛出μ(i)和d(i)再做就好了。
• 看来还需要锻炼自己的数学功底啊

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define M 50000
using namespace std;
int mu[M + 5], n, m, pri[M], top, d[M + 5], f[M + 5];
bool mrk[M + 5];
void getmu()
{
    mu[1] = d[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= M; ++i)
    {
        if(!mrk[i])
        {
            pri[top++] = i;
            mu[i] = -1;
            d[i] = 2;
            f[i] = 1;
        }
        for(int j = 0; j < top && i * pri[j] <= M; ++j)
        {
            mrk[i * pri[j]] = true;
            if(i % pri[j] == 0)
            {
                mu[i * pri[j]] = 0;
                f[i * pri[j]] = f[i] + 1;
                d[i * pri[j]] = d[i] / (f[i] + 1) * (f[i] + 2);
                break;
            }
            mu[i * pri[j]] = -mu[i];
            d[i * pri[j]] = (d[i] << 1);
            f[i * pri[j]] = 1;
        }
    }
    for(int i = 2; i <= M; ++ i)
    {
        d[i] += d[i - 1];
        mu[i] += mu[i - 1];
    }
}
inline ll work(int n, int m)
{
    if(n > m) swap(n, m);
    ll ans = 0;
    for(int i = 1, j; i <= n; i = j + 1)
    {
        j = min(n / (n / i), m / (m / i));
        ans += (ll)(mu[j] - mu[i - 1]) * (ll)d[n / i] * (ll)d[m / i];
    }
    return ans;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("d.txt", "r", stdin);
    freopen("a.txt", "w", stdout);
#endif
    int T;
    getmu();
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        printf("%lld\n", work(n, m));
    }
    return 0;
}

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