hdu 5201 The Monkey King 母函数 泰勒展开

题意：

有n个苹果，m个人，要求分给第一个人最多，其他人随意，求有多少种分法。最后结果模1000000007。

限制：

1 <= n,m <= 100000

思路：

母函数，泰勒展开

枚举第一个人分到的苹果，设为u，

剩下的苹果为n-u个，分成m-1份，则有：

生成函数为：

G(x)=(1+x+x^2+...+x^(u-1))^(m-1)

=> G(x)=((1-x^u)/(1-x))^(m-1)

=> G(x)=(1-x^u)^(m-1) / (1-x)^(m-1)

=> G(x)=(1-x^u)^(m-1) * (1-x)^(1-m) ---一式

对于任意二项式，其泰勒展开为：

(1+x)^k = 1 + kx + k(k-1)/2!*x^2 + ... + k(k-1)...(k-n+1)/n!x^k + ...

对"一式"进行泰勒展开，得到两个多项式相乘，然后对于每个u，就能通过求"一式"的x^(n-u)的系数，求结果。

/*hdu 5201 The Monkey King
  题意：
  有n个苹果，m个人，要求分给第一个人最多，其他人随意，求有多少种分法。最后结果模1000000007。
  限制：
  1 <= n,m <= 100000
  思路：
  母函数，泰勒展开
  枚举第一个人分到的苹果，设为u，
  剩下的苹果为n-u个，分成m-1份，则有：
  生成函数为：
  G(x)=(1+x+x^2+...+x^(u-1))^(m-1)
  => G(x)=((1-x^u)/(1-x))^(m-1)
  => G(x)=(1-x^u)^(m-1) / (1-x)^(m-1)
  => G(x)=(1-x^u)^(m-1) * (1-x)^(1-m)	---一式

  对于任意二项式，其泰勒展开为：
  (1+x)^k = 1 + kx + k(k-1)/2!*x^2 + ... + k(k-1)...(k-n+1)/n!x^k + ... 

  对"一式"进行泰勒展开，得到两个多项式相乘，然后对于每个u，就能通过求"一式"的x^(n-u)的系数，求结果。
 */
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define LL __int64
const int MOD=1000000007;
const int N=1000005;
LL inv(LL a,LL m){
	LL p=1,q=0,b=m,c,d;
	while(b>0){
		c=a/b;
		d=a; a=b; b=d%b;
		d=p; p=q; q=d-c*q;
	}
	return p<0?p+m:p;
}
LL fac[N],ny[N];
void predo(){
	fac[0]=1;
	ny[0]=inv(fac[0],MOD);
	for(int i=1;i<N;++i){
		fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
		ny[i]=inv(fac[i],MOD);
	}
}
LL C(int n,int m){
	if(m<0 || n<m) return 0;
	return fac[n]*ny[m]%MOD*ny[n-m]%MOD;
}
int main(){
	int T;
	int n,m;
	predo();
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		if(m==1){
            puts("1");
            continue;
        }
		LL ans=0;
		for(int i=1;i<=n;++i){
			LL fu=1;
			for(int j=0;j*i<=n-i && j<m;++j){
				ans=(ans+C(n-i-j*i+m-2,n-i-j*i)*C(m-1,j)*fu%MOD+MOD)%MOD;
				fu=-fu;
			}
		}
		printf("%I64d\n",ans);
	}
	return 0;
}