bzoj3930【CQOI2015】选数

3930: [CQOI2015]选数

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Description

我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

Input

输入一行，包含4个空格分开的正整数，依次为N，K，L和H。

Output

输出一个整数，为所求方案数。

Sample Input

2 2 2 4

Sample Output

3

HINT

样例解释

所有可能的选择方案：(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)

其中最大公约数等于2的只有3组：(2, 2), (2, 4), (4, 2)

对于100%的数据，1≤N,K≤10^9，1≤L≤H≤10^9，H-L≤10^5

递推，我好蠢...

注意题目中H-L≤10^5这个条件，如果N个数不全相同，那么他们的最大公约数小于等于N个数的极差。

因此我们可以先计算出N个数不全相同的方案数，再特判一下全相同的情况，就可以得到答案。

计算N各数不全相同，且最大公约数等于K的方案数，我们可以将L除以K上取整，H除以K下取整，问题转化为新的区间内最大公约数等于1的方案数。

设f[i]表示最大公约数为i的方案数，f[i]=t^n-t-∑(i|j)f[j]，其中t=H-L+1。然后枚举i，利用容斥原理暴力计算。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define ll long long
#define maxn 100005
#define mod 1000000007
using namespace std;
int n,k,l,r,len;
ll f[maxn];
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
inline ll getpow(ll x,ll y)
{
	ll ret=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;
	return ret;
}
int main()
{
	freopen("number.in","r",stdin);
	freopen("number.out","w",stdout);
	n=read();k=read();l=read();r=read();
	l=(l-1)/k+1;r=r/k;
	len=r-l+1;
	D(i,len,1)
	{
		ll tmp=r/i-(l-1)/i;
		if (!tmp) continue;
		f[i]=((getpow(tmp,n)-tmp)%mod+mod)%mod;
		F(j,2,len/i) f[i]=((f[i]-f[j*i])%mod+mod)%mod;
	}
	if (l<=1&&r>=1) f[1]=(f[1]+1)%mod;
	printf("%lld\n",f[1]);
}