算法重拾之路——凸多边形最优三角剖分

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第二章：动态规划

>凸多边形最优三角剖分<

算法描述：

? 多边形： 平面上一条分段线性闭曲线。即 一系列首尾相接的直线段所组成的。

? 通常用多边形顶点的逆时针序列表示 凸多边形，即 P = { v0,v1,...,vn-1 } 表示具有n条边，v0,v1,...,vn，其中，约定 v0 = vn。

? 若 vi与vj 是多边形上不相邻的两个顶点，则线段vivj称为多边形的一条弦。且弦vivj将多边形分割成两个不同的三角剖分。

? 凸多边形最优三角剖分问题：给定凸多边形 P
= { v0,v1,...,vn-1 }，以及定义在由凸多边形的边和弦组成的三角形上的权函数w。要求确定该凸多边形的三角剖分，使得该三角剖分所对应的权，即三角剖分中诸三角形上权之和为最小。

算法分析：

? 定义三角形上各种各样的权函数w。例如：w(vi,vj,vk）= |vivj| + |vjvk| + |vkvi|,其中，|vivj|是点vi到vj的欧氏距离（定义可看最下面的注解①）。相应于此权函数的最优三角剖分即为最小弦长三角剖分。

? 最优子结构性质： 若凸(n+1)边型
P = { v0,v1,...,vn-1 } 的最优三角剖分T包含三角形 v0vkvn，1≤k≤n-1，则T的权为三个部分权的和：三角形v0vkvn的权，子多边形{ v0,v1,...,vk } 和 { vk+1,vk+2,...,vn }的权之和。

可以断言，由T所确定的这两个子多边形的三角剖分也是最优的。因为若有
{ v0,v1,...,vk } 或 {vk,vk+1,...,vn }的更小权的三角剖分将导致T不是最优三角剖分的矛盾。

? 递归结构：设t[i][j],1≤i＜j≤n为凸多边形{ vi-1,vi,...,vj } 的最优三角剖分所对应的权值函数值，即其最优值。最优剖分包含三角形vi-1vkvj的权，子多边形{vi-1,vi,...,vk}的权，子多边形{vk,vk+1,...,vj}的权之和。

因此，可得递归式为：

同矩阵连乘问题算法相似，此算法时间复杂度为O(n^3) 空间复杂度为O(n^2)

算法程序：

<span style="font-family:Comic Sans MS;font-size:14px;">//凸多边形的权
int weight[][N] = {{0,2,2,3,1,4},{2,0,1,5,2,3},{2,1,0,2,1,4},{3,5,2,0,6,2},{1,2,1,6,0,1},{4,3,4,2,1,0}};

// 权函数
int w(int a,int b,int c)
{
     return weight[a][b] + weight[b][c] + weight[a][c];
}
int MinWeightTriangulation( int n , int** t , int** s )
{
    // 初始化表格
    for( int i = 1 ; i <= n ; ++i )
        t[i][i] = 0;

    //r为当前计算的链长（子问题规模）
    for( int r = 2 ; r <= n ; ++r ) {
        //n-r+1为最后一个r链的前边界
        for( int i = 1 ; i <= n-r+1 ; ++i ) {
            //计算前边界为r，链长为r的链的后边界
            int j = i+r-1;

            //将链ij划分为A(i) * ( A[i+1:j] )这里实际上就是k=i
            t[i][j] = t[i+1][j] + w(i-1,i,j);
            s[i][j] = i;

            for( int k = i+1 ; k < i+r-1 ; ++k )    {
                //将链ij划分为( A[i:k] )* (A[k+1:j])
                int u = t[i][k]+t[k+1][j]+w(i-1,k,j);
                if( u < t[i][j] )   {
                    t[i][j] = u;
                    s[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
    return t[1][N-2];
}

// 构造最优解
void Traceback(int i,int j,int **s)
{
    if(i==j) return;
    Traceback(i,s[i][j],s);
    Traceback(s[i][j]+1,j,s);
    cout<<"V"<<i-1<<",V"<<j<<",V"<<s[i][j]<<endl;
}</span>

相关注解：

①欧氏距离：即 欧几里得度量（euclidean metric），是一个通常采用的距离定义，指在m维空间中，两个点的真实距离。比如在二维空间，点A(x1,y1) 和 点B(x2,y2)的欧氏距离为： d=sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2
); 扩展到三维空间即为： d=sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2 ) 。由此可继续推出m维空间的欧氏距离。

②图片来源：风仲达

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