求数组的子数组之和的最大值
问题描述
分析与解法
【解法一】
具体代码如下：
1 package chapter2shuzizhimei.maxsumsubarray;
2 /**
3 * 求数组的子数组之和的最大值
4 * 【解法一】
5 * @author DELL
6 *
7 */
8 public class MaxSumSubArray1 {
9 //求数组的子数组之和的最大值
10 public static double maxSum(double a[]){
11 double maxSum = a[0];
12 int i,j,k,n=a.length;
13 for(i=0;i<n;i++){
14 for(j=i;j<n;j++){
15 double sum = 0;
16 for(k=i;k<=j;k++){
17 sum += a[k];
18 }
19 if(sum>maxSum)
20 maxSum = sum;
21 }
22 }
23 return maxSum;
24 }
25 public static void main(String[] args) {
26 double a[]={1,-2,3,5,-3,2};
27 double b[]={0,-2,3,5,-1,2};
28 double c[]={-9,-2,-3,-5,-3};
29 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(a));
30 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(b));
31 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(c));
32
33 }
34
35 }
程序运行结果如下：
求数组的子数组之和的最大值为：8.0 求数组的子数组之和的最大值为：9.0 求数组的子数组之和的最大值为：-2.0
代码如下：
1 package chapter2shuzizhimei.maxsumsubarray;
2 /**
3 * 求数组的子数组之和的最大值
4 * 【解法一】优化
5 * @author DELL
6 *
7 */
8 public class MaxSumSubArray2 {
9 //求数组的子数组之和的最大值
10 public static double maxSum(double a[]){
11 double maxSum = a[0];
12 int i,j,k,n=a.length;
13 for(i=0;i<n;i++){
14 double sum = 0; //优化修改
15 for(j=i;j<n;j++){
16 sum += a[j]; //优化修改
17 if(sum>maxSum)
18 maxSum = sum;
19 }
20 }
21 return maxSum;
22 }
23 public static void main(String[] args) {
24 double a[]={1,-2,3,5,-3,2};
25 double b[]={0,-2,3,5,-1,2};
26 double c[]={-9,-2,-3,-5,-3};
27 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(a));
28 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(b));
29 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(c));
30
31 }
32
33 }
程序运行结果如下：
求数组的子数组之和的最大值为：8.0 求数组的子数组之和的最大值为：9.0 求数组的子数组之和的最大值为：-2.0
【解法二】
具体代码如下：
1 package chapter2shuzizhimei.maxsumsubarray;
2 /**
3 * 求数组的子数组之和的最大值
4 * 【解法二】递归求解
5 * @author DELL
6 *
7 */
8 public class MaxSumSubArray3 {
9 //找两个数的最大值
10 public static double max(double a,double b){
11 return a>b ? a:b;
12 }
13 //求数组的子数组之和的最大值
14 public static double maxSum(double a[],int first, int last){
15 if(first==last)
16 return a[first];
17 int n = last-first+1;
18 double LmaxSum = maxSum(a, first, first+n/2-1); //左边的最大值
19 double RmaxSum = maxSum(a, first+n/2, last); //右边的最大值
20 double maxSum = max(LmaxSum,RmaxSum); //总的最大值
21 double maxSuml = a[first+n/2-1]; //横跨两段的左边段的最大值
22 double maxSumr = a[first+n/2]; //横跨两段的右边段的最大值
23 double sum = 0;
24 for(int i=first+n/2-1;i>=first;i--){
25 sum += a[i];
26 if(sum>maxSuml)
27 maxSuml = sum;
28 }
29 sum = 0;
30 for(int i=first+n/2;i<=last;i++){
31 sum += a[i];
32 if(sum>maxSumr)
33 maxSumr = sum;
34 }
35 maxSum = max(maxSum,maxSuml+maxSumr);
36 return maxSum;
37 }
38 public static void main(String[] args) {
39 double a[]={1,-2,3,5,-3,2};
40 double b[]={0,-2,3,5,-1,2};
41 double c[]={-9,-2,-3,-5,-3};
42 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(a,0,a.length-1));
43 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(b,0,b.length-1));
44 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(c,0,c.length-1));
45
46 }
47
48 }
程序运行结果如下：
求数组的子数组之和的最大值为：8.0 求数组的子数组之和的最大值为：9.0 求数组的子数组之和的最大值为：-2.0
【解法三】
具体代码如下：
1 package chapter2shuzizhimei.maxsumsubarray;
2 /**
3 * 求数组的子数组之和的最大值
4 * 【解法三】动态规划
5 * @author DELL
6 *
7 */
8 public class MaxSumSubArray4 {
9 //找两个数的最大值
10 public static double max(double a,double b){
11 return a>b ? a:b;
12 }
13 //求数组的子数组之和的最大值
14 public static double maxSum(double a[]){
15 int n = a.length;
16 double start[] = new double[n]; //start[i]表示从a[i]包含a[i]开始的最大和
17 double all[] = new double[n]; //all[i]表示从从a[i]到a[n-1]的一段中子数组之和的最大值
18 start[n-1] = a[n-1];
19 all[n-1] = a[n-1];
20 for(int i=n-2;i>=0;i--){
21 start[i] = max(a[i],a[i]+start[i+1]);
22 all[i] = max(start[i],all[i+1]);
23 }
24 return all[0];
25 }
26 public static void main(String[] args) {
27 double a[]={1,-2,3,5,-3,2};
28 double b[]={0,-2,3,5,-1,2};
29 double c[]={-9,-2,-3,-5,-3};
30 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(a));
31 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(b));
32 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(c));
33
34 }
35
36 }
程序运行结果如下：
求数组的子数组之和的最大值为：8.0 求数组的子数组之和的最大值为：9.0 求数组的子数组之和的最大值为：-2.0
具体代码如下：
1 package chapter2shuzizhimei.maxsumsubarray;
2 /**
3 * 求数组的子数组之和的最大值
4 * 【解法三】动态规划 优化（减少空间复杂度）
5 * @author DELL
6 *
7 */
8 public class MaxSumSubArray5 {
9 //找两个数的最大值
10 public static double max(double a,double b){
11 return a>b ? a:b;
12 }
13 //求数组的子数组之和的最大值
14 public static double maxSum(double a[]){
15 int n = a.length;
16 double start; //start[i]表示从a[i]包含a[i]开始的最大和
17 double all; //all[i]表示从从a[i]到a[n-1]的一段中子数组之和的最大值
18 start = a[n-1];
19 all = a[n-1];
20 for(int i=n-2;i>=0;i--){
21 start = max(a[i],a[i]+start);
22 all = max(start,all);
23 }
24 return all;
25 }
26 public static void main(String[] args) {
27 double a[]={1,-2,3,5,-3,2};
28 double b[]={0,-2,3,5,-1,2};
29 double c[]={-9,-2,-3,-5,-3};
30 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(a));
31 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(b));
32 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(c));
33
34 }
35
36 }
程序运行结果如下：
求数组的子数组之和的最大值为：8.0 求数组的子数组之和的最大值为：9.0 求数组的子数组之和的最大值为：-2.0
改进的算法不仅节省了空间，而且只有寥寥几行，却达到了很高的效率。我们还可以换一个写法：
1 package chapter2shuzizhimei.maxsumsubarray;
2 /**
3 * 求数组的子数组之和的最大值
4 * 【解法三】动态规划 优化（减少空间复杂度）
5 * @author DELL
6 *
7 */
8 public class MaxSumSubArray6 {
9 //找两个数的最大值
10 public static double max(double a,double b){
11 return a>b ? a:b;
12 }
13 //求数组的子数组之和的最大值
14 public static double maxSum(double a[]){
15 int n = a.length;
16 double start; //start[i]表示从a[i]包含a[i]开始的最大和
17 double all; //all[i]表示从从a[i]到a[n-1]的一段中子数组之和的最大值
18 start = a[n-1];
19 all = a[n-1];
20 for(int i=n-2;i>=0;i--){
21 if(start<0)
22 start = 0;
23 start = a[i]+start;
24 if(start>all)
25 all = start;
26 }
27 return all;
28 }
29 public static void main(String[] args) {
30 double a[]={1,-2,3,5,-3,2};
31 double b[]={0,-2,3,5,-1,2};
32 double c[]={-9,-2,-3,-5,-3};
33 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(a));
34 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(b));
35 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(c));
36
37 }
38
39 }
程序运行结果如下：
求数组的子数组之和的最大值为：8.0 求数组的子数组之和的最大值为：9.0 求数组的子数组之和的最大值为：-2.0
扩展问题
（注：上面的i>j应改为i<=j）
问题1 代码如下：
1 package chapter2shuzizhimei.maxsumsubarray;
2 /**
3 * 求数组的子数组之和的最大值
4 * 扩展问题1
5 * @author DELL
6 *
7 */
8 public class MaxSumSubArray7 {
9 //找两个数的最大值
10 public static double max(double a,double b){
11 return a>b ? a:b;
12 }
13 //求数组的子数组之和的最大值，循环数组
14 public static double maxSum(double a[]){
15 int n = a.length;
16 double start; //start[i]表示从a[i]包含a[i]开始的最大和
17 double all; //all[i]表示从从a[i]到a[n-1]的一段中子数组之和的最大值
18 start = a[n-1];
19 all = a[n-1];
20 for(int i=n-2;i>=0;i--){
21 if(start<0)
22 start = 0;
23 start = a[i]+start;
24 if(start>all)
25 all = start;
26 }
27 double max1=a[n-1],max2=a[0],sum=0;
28 int i = n-1,j = 0;
29 //寻找以a[n-1]结尾的最大值
30 for(int k=n-1;k>=0;k--){
31 sum += a[k];
32 if(sum>max1){
33 max1 = sum;
34 i = k;
35 }
36 }
37 sum = 0;
38 //寻找以a[0]开始的最大值
39 for(int k=0;k<n;k++){
40 sum += a[k];
41 if(sum>max1){
42 max2 = sum;
43 j = k;
44 }
45 }
46 double max;
47 if(i<=j){
48 max = sum;
49 }else{
50 max = max1 + max2;
51 }
52 return max(all,max);
53 }
54 public static void main(String[] args) {
55 double a[]={1,-2,3,5,-3,2};
56 double b[]={0,-2,3,5,-1,2};
57 double c[]={-9,-2,-3,-5,-3};
58 double d[]={4,5,-9,-8,1,2,3};
59 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(a));
60 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(b));
61 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(c));
62 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(d));
63
64 }
65
66 }
程序运行结果如下：
求数组的子数组之和的最大值为：8.0 求数组的子数组之和的最大值为：9.0 求数组的子数组之和的最大值为：-2.0 求数组的子数组之和的最大值为：15.0
问题2 还能保持O(N)的时间复杂度
具体代码如下：
1 package chapter2shuzizhimei.maxsumsubarray;
2 /**
3 * 求数组的子数组之和的最大值
4 * 扩展问题1
5 * @author DELL
6 *
7 */
8 public class MaxSumSubArray8 {
9 //找两个数的最大值
10 public static double max(double a,double b){
11 return a>b ? a:b;
12 }
13 //求数组的子数组之和的最大值，循环数组
14 public static double maxSum(double a[]){
15 int first,last; //记录最大数组的位置
16 int n = a.length;
17 double start; //start[i]表示从a[i]包含a[i]开始的最大和
18 double all; //all[i]表示从从a[i]到a[n-1]的一段中子数组之和的最大值
19 start = a[n-1];
20 first = n-1;
21 last = n-1;
22 all = a[n-1];
23 for(int i=n-2;i>=0;i--){
24 if(start<0){
25 start = 0;
26 last = i;
27 }
28 start = a[i]+start;
29 if(start>all){
30 all = start;
31 first = i;
32 }
33 }
34 if(first>last)
35 last = first;
36 double max1=a[n-1],max2=a[0],sum=0;
37 int i = n-1,j = 0;
38 //寻找以a[n-1]结尾的最大值
39 for(int k=n-1;k>=0;k--){
40 sum += a[k];
41 if(sum>max1){
42 max1 = sum;
43 i = k;
44 }
45 }
46 sum = 0;
47 //寻找以a[0]开始的最大值
48 for(int k=0;k<n;k++){
49 sum += a[k];
50 if(sum>max1){
51 max2 = sum;
52 j = k;
53 }
54 }
55 double max;
56 if(i<=j){
57 max = sum;
58 }else{
59 max = max1 + max2;
60 }
61 if(max>all){
62 if(i<=j)
63 System.out.println("最大子数组的位置为整个数组！");
64 else
65 System.out.println("最大子数组的位置为(数组下标)："+i+" -> "+j);
66 }else{
67 System.out.println("最大子数组的位置为(数组下标)："+first+" -> "+last);
68 }
69 return max(all,max);
70 }
71 public static void main(String[] args) {
72 double a[]={1,-2,3,5,-3,2};
73 double b[]={0,-2,3,5,-1,2};
74 double c[]={-9,-2,-3,-5,-3};
75 double d[]={4,5,-9,-8,1,2,3};
76 double e[]={4,5,1,6,1,2,3};
77 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(a));
78 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(b));
79 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(c));
80 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(d));
81 System.out.println("求数组的子数组之和的最大值为："+maxSum(e));
82
83 }
84
85 }
程序运行结果如下：
最大子数组的位置为(数组下标)：2 -> 3 求数组的子数组之和的最大值为：8.0 最大子数组的位置为(数组下标)：2 -> 5 求数组的子数组之和的最大值为：9.0 最大子数组的位置为(数组下标)：1 -> 1 求数组的子数组之和的最大值为：-2.0 最大子数组的位置为(数组下标)：4 -> 1 求数组的子数组之和的最大值为：15.0 最大子数组的位置为(数组下标)：0 -> 6 求数组的子数组之和的最大值为：22.0
时间： 2024-10-06 15:52:54