置换群(等价类计数)

一.定义

• 群

??群是啥？？？我不会啊

• 置换(\(g\))

??一个置换是一种运算，代表让物体交换位置的一种方法

• 置换群(\(G\))

??顾名思义，由置换构成的群

• k不动置换类(\(Z_k\))(稳定化子)

??使元素 \(k\) 不改变位置的群的集合

• 等价类(\(E_k\))(轨道)

??在置换群 \(G\) 作用下元素 \(k\) 的运动轨迹(一些点的集合)

• 循环(\(h_g\))

??在置换 \(g\) 作用下产生的循环

• 轨道-稳定化子定理

\[|E_k|\times|Z_k|=|G|\]
??证明：不会

• burnside引理

\[L=\frac{1}{|G|}\sum c_i(c_i表示在置换i下不变的元素个数)\]

??由轨道-稳定化子定理可知，|G|可以表示一个等价类中所有元素的 \(Z_k\) 之和

??则有\[L\times|G|=\sum_{i=1}^n|Z_i|\]

??而根据定义，我们有\[\sum_{i=1}^n|Z_i|=\sum_{k=1}^{|G|}c_i\]

??则\[L=\frac{1}{|G|}\sum c_i\]

• polya定理

\[L=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}m^{h_i}(m为颜色数)\]

??只适用于对颜色没有位置限制的情况

??可以显然的发现在所有颜色平等的情况下和 \(burnside\) 引理是一样的

二.例题

• 1.大部分置换群的题都是套着 \(burnside\) 皮的 \(dp\),这里不加赘述

[bzoj1851]color有色图

?题意描述：一张n个节点的完全图，用m种颜色给边染色，对于点编号的交换同构，问有多少种不同的染色方案

?查姆讲的太好啦群论之神的博客

原文地址：https://www.cnblogs.com/mikufun-hzoi-cpp/p/12153046.html