题目描述
Jiajia和Wind是一对恩爱的夫妻，并且他们有很多孩子。某天，Jiajia、Wind和孩子们决定在家里玩捉迷藏游戏。他们的家很大且构造很奇特，由N个屋子和N-1条双向走廊组成，这N-1条走廊的分布使得任意两个屋子都互相可达。
游戏是这样进行的，孩子们负责躲藏，Jiajia负责找，而Wind负责操纵这N个屋子的灯。在起初的时候，所有的灯都没有被打开。每一次，孩子们只会躲藏在没有开灯的房间中，但是为了增加刺激性，孩子们会要求打开某个房间的电灯或者关闭某个房间的电灯。为了评估某一次游戏的复杂性，Jiajia希望知道可能的最远的两个孩子的距离（即最远的两个关灯房间的距离）。
我们将以如下形式定义每一种操作：
C(hange) i 改变第i个房间的照明状态，若原来打开，则关闭；若原来关闭，则打开。
G(ame) 开始一次游戏，查询最远的两个关灯房间的距离。
输入格式
第一行包含一个整数N，表示房间的个数，房间将被编号为1,2,3…N的整数。
接下来N-1行每行两个整数a, b，表示房间a与房间b之间有一条走廊相连。
接下来一行包含一个整数Q，表示操作次数。接着Q行，每行一个操作，如上文所示。
输出格式
对于每一个操作Game，输出一个非负整数到hide.out，表示最远的两个关灯房间的距离。若只有一个房间是关着灯的，输出0；若所有房间的灯都开着，输出-1。
这题本来老师是让用动态点分治做的，但是我用了一种括号序列的做法。
我们可以将一个点在dfs便历时放入一个左括号，回溯的时候放入一个右括号，这样就得到了一棵树的括号序列。
这个括号序列有一个性质，可以通过这个括号序列得到树上两点的距离。
例如
这棵树的括号序列是：\((3(5(8))(4(2)(6))(1(7)))\)
假如要求2到7的距离，可以截取2到7这一段括号序列\(2)(6))(1(7\)
删去数字和可以匹配的括号，剩下：\())((\)，一共四个括号，距离为4。
为什么有这个性质：
\(1^o\)只添加了左括号
这样子的话，这个点肯定是u的祖先，在路径上
\(2^o\)添加了左右括号
这样子的话，这个点肯定是祖先的其他儿子，或者是u点的儿子，产生不了贡献，所以要抵消。
\(3^o\)左右括号都没添加
这样子的话，这个点肯定是祖先的其他儿子，产生不了贡献，不用计算。
\(4^o\)只添加了右括号
这样子的话，有多少个右括号，就说明跳到lca需要多少步。
综述，上面的性质成立。
然后就到了维护答案的时候了。
设一个区间有\(a\)个右括号，\(b\)个左括号，左儿子区间有\(a1\)个右括号，\(b1\)个左括号，右儿子区间有\(a2\)个右括号，\(b2\)个左括号。
那这个大区间的答案就是\(a1+|b1-a2|+b2=max(a1+b1-a2+b2,a1-b1+a2+b2)=max((a1+b1)+(b2-a2),(a1-b1)+(a2+b2))\)。
显然\((a1+b1),(b2-a2),(a1-b1),(a2+b2)\)都是可以区间单独维护的,前缀维护l1(a+b),l2(b-a),r1(a+b),r2(a-b)。
然后就是区间合并答案了。
#### \(1^o\)(a,b)
\(\begin{cases}a=a1,b=b1-a2+b2&b1>a2\\a=a1+a2-b1,b=b2&b1\leqslant{a2}\end{cases}\)
这个很好理解吧。
\(2^o\)(l1,l2,b1,b2)
tree[hao].l1=max(tree[lc].l1,max(tree[rc].l1+tree[lc].a-tree[lc].b,tree[rc].l2+tree[lc].a+tree[lc].b));
tree[hao].l2=max(tree[lc].l2,tree[rc].l2-tree[lc].a+tree[lc].b);
tree[hao].r1=max(tree[rc].r1,max(tree[lc].r1-tree[rc].a+tree[rc].b,tree[lc].r2+tree[rc].a+tree[rc].b));
tree[hao].r2=max(tree[rc].r2,tree[lc].r2+tree[rc].a-tree[rc].b);l1和l2是前缀的，所以整个区间要么是lson贡献的，要么是rson+lson贡献来的。
r1和r2同理。
\(3^o\)ans
tree[hao].sum=max(max(tree[lc].sum,tree[rc].sum),max(tree[lc].r1+tree[rc].l2,tree[lc].r2+tree[rc].l1));直接按照推出来的式子计算即可
剩下的就是线段树基本操作了。
另：初始化时要\(-INF\)
#include<bits/stdc++.h>
#define lc hao<<1
#define rc hao<<1|1
#define inf 214748364
#define N 100010
using namespace std;
struct data
{
int a,b,l1,l2,r1,r2,sum;//right left max(a+b) max(b-a) max(a+b) max(a-b) ans
}tree[N<<4];
int to[N<<1],nxt[N<<1],head[N],st[N<<2],nct,cnt,tot,val[N],n,m,x,y;
bool is[N];
char ch[2];
void adde(int x,int y)
{
to[++nct]=y;
nxt[nct]=head[x];
head[x]=nct;
}
void dfs(int u,int fa)
{
st[++cnt]=-1;
st[++cnt]=u;
val[u]=cnt;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int v=to[i];
if(v!=fa)
{
dfs(v,u);
}
}
st[++cnt]=-2;
}
void up(int hao)
{
if(tree[lc].b>tree[rc].a)
{
tree[hao].a=tree[lc].a;
tree[hao].b=tree[lc].b-tree[rc].a+tree[rc].b;
}else{
tree[hao].b=tree[rc].b;
tree[hao].a=tree[rc].a-tree[lc].b+tree[lc].a;
}
tree[hao].l1=max(tree[lc].l1,max(tree[rc].l1+tree[lc].a-tree[lc].b,tree[rc].l2+tree[lc].a+tree[lc].b));
tree[hao].l2=max(tree[lc].l2,tree[rc].l2-tree[lc].a+tree[lc].b);
tree[hao].r1=max(tree[rc].r1,max(tree[lc].r1-tree[rc].a+tree[rc].b,tree[lc].r2+tree[rc].a+tree[rc].b));
tree[hao].r2=max(tree[rc].r2,tree[lc].r2+tree[rc].a-tree[rc].b);
tree[hao].sum=max(max(tree[lc].sum,tree[rc].sum),max(tree[lc].r1+tree[rc].l2,tree[lc].r2+tree[rc].l1));
}
void change(int hao,int x)
{
tree[hao].a=tree[hao].b=0;
tree[hao].l1=tree[hao].r1=tree[hao].l2=tree[hao].r2=tree[hao].sum=-inf;
if(st[x]==-1)
{
tree[hao].b=1;
}else{
if(st[x]==-2)
{
tree[hao].a=1;
}else{
if(!is[st[x]])
{
tree[hao].l1=tree[hao].r1=tree[hao].l2=tree[hao].r2=0;
}
}
}
}
void build(int hao,int l,int r)
{
if(l==r)
{
change(hao,l);
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(lc,l,mid);
build(rc,mid+1,r);
up(hao);
}
void update(int hao,int l,int r,int x)
{
if(l==r)
{
change(hao,l);
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid)
{
update(lc,l,mid,x);
}else{
update(rc,mid+1,r,x);
}
up(hao);
}
int main()
{
// freopen("1.txt","r",stdin);
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<n;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
adde(x,y);
adde(y,x);
}
dfs(1,-1);
tot=n;
build(1,1,cnt);
scanf("%d",&m);
while(m--)
{
scanf("%s",ch);
if(ch[0]=='G')
{
if(tot==1)
{
puts("0");
}else{
if(tot==0)
{
puts("-1");
}else{
printf("%d\n",tree[1].sum);
}
}
}else{
scanf("%d",&x);
if(is[x])
{
tot++;
is[x]=0;
}else{
tot--;
is[x]=1;
}
update(1,1,cnt,val[x]);
}
}
return 0;
}
原文地址：https://www.cnblogs.com/2017gdgzoi44/p/12000768.html