4817: [Sdoi2017]树点涂色
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[Submit][Status][Discuss]Description
Bob有一棵n个点的有根树，其中1号点是根节点。Bob在每个点上涂了颜色，并且每个点上的颜色不同。定义一条路
径的权值是：这条路径上的点（包括起点和终点）共有多少种不同的颜色。Bob可能会进行这几种操作：
1 x:
把点x到根节点的路径上所有的点染上一种没有用过的新颜色。
2 x y:
求x到y的路径的权值。
3 x y:
在以x为根的子树中选择一个点，使得这个点到根节点的路径权值最大，求最大权值。
Bob一共会进行m次操作
Input
第一行两个数n,m。
接下来n-1行，每行两个数a,b，表示a与b之间有一条边。
接下来m行，表示操作，格式见题目描述
1<=n,m<=100000
Output
每当出现2,3操作，输出一行。
如果是2操作，输出一个数表示路径的权值
如果是3操作，输出一个数表示权值的最大值
Sample Input
5 6
1 2
2 3
3 4
3 5
2 4 5
3 3
1 4
2 4 5
1 5
2 4 5Sample Output
3
4
2
2HINT
Source
首先发现第一个操作很像LCT里的Access()，这个方向已经对了。
我们设f[x]表示x与父节点的值是否一样，且f[1]=1，那么对于每个点的答案就是这个点到根上的所有f[x]之和，设为g[x]。
2操作可以转化成g[x]+g[y]-2*g[lca]+1（这里的+1要考虑清楚），3操作可以转化成求x子树中的g[]的最大值，考虑如何维护g[]。
可以发现从x修改到根时，只有每次发生链的切换的时候f[]值才会改变，而每次链的切换正是LCT中Access()所执行的操作，所以我们每次Access()切换链的时候，将其子树的所有g[]加1，对新接进来的节点的子树g[]减1，这个涉及子树的操作，直接DFS+线段树解决即可。
写代码的时候突然发现自己不会区间修改区间查询的线段树了。。吃枣药丸。。
说一下标记永久化的事情，一般的标记是存放自顶向下的懒惰信息，标记自顶向下逐层下放，标记永久化则是可以看作存的是仅在这一层的懒惰信息，标记并不下放而是自底向上地合并。
一般来说标记永久化可能会短一点，速度也会快一些，但并不是非常直观，所以在不卡常数的情况下还是写普通标记吧。
先贴一份没有标记永久化的片段
void push(int x,int L,int R){
if (!tag[x]) return;
tag[ls]+=tag[x]; mx[ls]+=tag[x];
tag[rs]+=tag[x]; mx[rs]+=tag[x];
tag[x]=0;
}
void ins(int x,int L,int R,int l,int r,int k){
if (L==l && r==R){ tag[x]+=k; mx[x]+=k; return; }
int mid=(L+R)>>1; push(x,L,R);
if (r<=mid) ins(ls,L,mid,l,r,k);
else if (l>mid) ins(rs,mid+1,R,l,r,k);
else ins(ls,L,mid,l,mid,k),ins(rs,mid+1,R,mid+1,r,k);
mx[x]=max(mx[ls],mx[rs]);
}
int ask(int x,int L,int R,int l,int r){
if (L==l && r==R) return mx[x];
int mid=(L+R)>>1; push(x,L,R);
if (r<=mid) return ask(ls,L,mid,l,r);
else if (l>mid) return ask(rs,mid+1,R,l,r);
else return max(ask(ls,L,mid,l,mid),ask(rs,mid+1,R,mid+1,r));
}
下面是标记永久化的程序，比原来快1/5。
1 #include<cstdio>
2 #include<algorithm>
3 #define ls (x<<1)
4 #define rs ((x<<1)|1)
5 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
6 #define For(i,x) for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i])
7 using namespace std;
8
9 const int N=400100;
10 int n,m,x,y,op,cnt,nd,tim,val[N],top[N],son[N],to[N],h[N],nxt[N];
11 int sz[N],d[N],L[N],R[N],ch[N][2],mx[N],tag[N],f[N],fa[N];
12 void add(int u,int v){ to[++cnt]=v; nxt[cnt]=h[u]; h[u]=cnt; }
13 bool isroot(int x){ return (!f[x]) || (ch[f[x]][0]!=x && ch[f[x]][1]!=x); }
14
15 void dfs(int x,int pre){
16 sz[x]=1; d[x]=d[pre]+1;
17 For(i,x) if ((k=to[i])!=pre){
18 f[k]=fa[k]=x; dfs(k,x); sz[x]+=sz[k];
19 if (sz[son[x]]<sz[k]) son[x]=k;
20 }
21 }
22
23 void dfs2(int x,int tp){
24 L[x]=++tim; top[x]=tp; val[tim]=d[x];
25 if (son[x]) dfs2(son[x],tp);
26 For(i,x) if ((k=to[i])!=fa[x] && k!=son[x]) dfs2(k,k);
27 R[x]=tim;
28 }
29
30 void rot(int x){
31 int y=f[x],z=f[y],w=ch[y][1]==x;
32 if (!isroot(y)) ch[z][ch[z][1]==y]=x;
33 f[x]=z; f[y]=x; f[ch[x][w^1]]=y;
34 ch[y][w]=ch[x][w^1]; ch[x][w^1]=y;
35 }
36
37 void splay(int x){
38 while (!isroot(x)){
39 int y=f[x],z=f[y];
40 if (!isroot(y)){
41 if ((ch[z][1]==y)^(ch[y][1]==x)) rot(x); else rot(y);
42 }
43 rot(x);
44 }
45 }
46
47 void ins(int x,int L,int R,int l,int r,int k){
48 if (L==l && r==R){ tag[x]+=k; mx[x]+=k; return; }
49 int mid=(L+R)>>1;
50 if (r<=mid) ins(ls,L,mid,l,r,k);
51 else if (l>mid) ins(rs,mid+1,R,l,r,k);
52 else ins(ls,L,mid,l,mid,k),ins(rs,mid+1,R,mid+1,r,k);
53 mx[x]=max(mx[ls],mx[rs])+tag[x];
54 }
55
56 int ask(int x,int L,int R,int l,int r){
57 if (L==l && r==R) return mx[x];
58 int mid=(L+R)>>1;
59 if (r<=mid) return tag[x]+ask(ls,L,mid,l,r);
60 else if (l>mid) return tag[x]+ask(rs,mid+1,R,l,r);
61 else return tag[x]+max(ask(ls,L,mid,l,mid),ask(rs,mid+1,R,mid+1,r));
62 }
63
64 int find(int x){ while (ch[x][0]) x=ch[x][0]; return x; }
65
66 void access(int x){
67 for (int y=0; x; y=x,x=f[x]){
68 splay(x); int t=find(ch[x][1]);
69 if (t) ins(1,1,n,L[t],R[t],1);
70 t=find(y); ch[x][1]=y;
71 if (t) ins(1,1,n,L[t],R[t],-1);
72 }
73 }
74
75 void build(int x,int L,int R){
76 if (L==R) { mx[x]=val[L]; return; }
77 int mid=(L+R)>>1;
78 build(ls,L,mid); build(rs,mid+1,R);
79 mx[x]=max(mx[ls],mx[rs]);
80 }
81
82 int get(int u,int v){
83 for (; top[u]!=top[v]; u=fa[top[u]])
84 if (d[top[u]]<d[top[v]]) swap(u,v);
85 return (d[u]<d[v])?u:v;
86 }
87
88 int main(){
89 freopen("paint.in","r",stdin);
90 freopen("paint.out","w",stdout);
91 scanf("%d%d",&n,&m);
92 rep(i,2,n) scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);
93 dfs(1,0); dfs2(1,1); build(1,1,n);
94 while (m--){
95 scanf("%d",&op);
96 if (op==1) scanf("%d",&x),access(x);
97 else if (op==2){
98 scanf("%d%d",&x,&y); int lca=get(x,y);
99 printf("%d\n",ask(1,1,n,L[x],L[x])+ask(1,1,n,L[y],L[y])-2*ask(1,1,n,L[lca],L[lca])+1);
100 }else scanf("%d",&x),printf("%d\n",ask(1,1,n,L[x],R[x]));
101 }
102 return 0;
103 }
原文地址：https://www.cnblogs.com/HocRiser/p/8723696.html