这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。

在傅里叶变换中有时域$f(t)$，频域$F(s)$，他们的对应关系按照如下方式标记：

$f(t) \ \leftrightarrow \ F(s)$

时延性（Delayed）

$f(t-b) \ \leftrightarrow \ ?$

时延性在时域的表示为$f(t-b)$，函数整体比$f(t)$延后b。那么在频域该如何变化呢？

$\begin{align*}
&\quad \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(t-b)dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi is(u+b)}f(u)du \quad u=t-b\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isu}e^{-2\pi isb}f(u)du\\
&=e^{-2\pi isb}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isu}f(u)du\\
&=e^{-2\pi isb}F(s)
\end{align*}$

因此，

$f(t-b)\leftrightarrow e^{-2\pi isb}F(s)$

$f(t\pm b)\leftrightarrow e^{\pm 2\pi isb}F(s)$

时域上的时移对应频域上的相移（Shift in time corresponds to a phase shift in frequency）。令$F(s) = |F(s)|e^{2\pi i\theta(s)}$，其中$|F(s)|$代表振幅（magnitude），$\theta(s)$代表相位（phase），那么，

$e^{-2\pi isb}F(s)=|F(s)|e^{2\pi i(\theta(s)-sb)}$

上面的等式代表了频谱的振幅不变，而相位改变了。

尺度变化（scaling）

$f(at) \ \leftrightarrow \ ?$

1. 当$a>0$时，

$\begin{align*}
&\quad \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(at)dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi is(\frac{u}{a})}f(u)d\frac{u}{a} \quad u=at\\
&=\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i(\frac{s}{a})u}f(u)du\\
&=\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})
\end{align*}$

2. 当$a>0$时

$\begin{align*}
&\quad \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(at)dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi is(\frac{u}{a})}f(u)d\frac{u}{a} \quad u=at\\
&=\frac{1}{a}\int_{\infty}^{-\infty}e^{-2\pi i(\frac{s}{a})u}f(u)du\\
&=-\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i(\frac{s}{a})u}f(u)du\\
&=-\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})
\end{align*}$

把两种情况合在一起，有

$f(at) \ \leftrightarrow \ \frac{1}{|a|}F(\frac{s}{a})$

下面在图像上观察时域与频域具体是如何变化的（以高斯函数为例子）

1. 当$a>1$时，

时域横向压缩，频域横向扩展、纵向压缩，即频域分散

2. 当$0<a<1$时

时域横向扩展，频域纵向压缩、横向扩展，即频域集中

上述情况表面了时域与频域不可能同时在一个方向上压缩与扩展。

卷积（convolution）

卷积可能算是信号处理中最重要的运算了。

信号处理可以被理解为：如何用一个函数（信号）调制另一个函数（信号）。（Signal Processing can be said to how can you use one function(signal) to modify another.）

大部分情况下，信号处理是着力于改变信号的频谱，也就是说，先对信号进行傅里叶变换，然后在频域进行处理，之和进行傅里叶逆变换得到处理过后的信号。

线性处理

即两个信号线性叠加

$\begin{align*}
\eta(f+g)
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}(f(t)+g(t))dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{-2\pi ist}f(t)+e^{-2\pi ist}g(t)\right)dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(t)dt+\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}g(t)dt\\
&=\eta f + \eta g
\end{align*}$

频域相乘处理

$\begin{align*}
\eta(f)\eta(g)
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}g(t)dt\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}g(x)dx\\
&=\iint_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}e^{-2\pi isx}g(t)f(x)dtdx\\
&=\iint_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi is(t+x)}g(t)f(x)dtdx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi is(t+x)}g(t)dt \right )f(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi is(u)}g(u-x)du \right )f(x)dx \quad u=t+x\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}g(u-x)f(x)dx \right )e^{-2\pi isu}du\\
\end{align*}$

令$h(u) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}g(u-x)f(x)dx }$，

那么，

$(\eta g)(\eta f) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isu}h(u)du }$

卷积定义

卷积用符号$*$表示，运算方法如下

$(g*f)(x) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}g(x-y)f(y)dy }$

$\eta(g*f) = (\eta g)(\eta f)$

信号的卷积的傅里叶变换等于对这些信号进行傅里叶变换后的乘积。