恒成立、能成立和恰成立三类命题赏析
恒成立、能成立和恰成立三类命题是高三数学中比较常见的高频命题,尤其是恒成立、能成立命题,让许多学生感到头疼不已。考查的频次多,难度大,所以深入思考和总结这类命题的规律显得非常必要和迫切,同时和恒成立、能成立命题紧密相连的变形技巧----分离参数法,更是非常普遍和常用的一种数学变形方法。
\(\color{Red}{恒成立问题}\)
\(\fbox{例1}\)已知函数\(f(x)=x^2 +ax-2\ge 0\)在区间\([1,5]\)上恒成立,求参数\(a\)的取值范围。
\(\fbox{常规法1(二次函数法)}\)由于\(\Delta=a^2+8>0\),
故不需要考虑\(\Delta<0\)的情形,只需要考虑对称轴\(x=-\cfrac{a}{2}\)和给定区间\([1,5]\)的相对位置关系
当\(-\cfrac{a}{2}\leq 1\)时,即\(a≥-2\)时,函数\(f(x)\)在区间\([1,5]\)单调递增,
所以\(f(x)_{min}=f(1)=1+a-2≥0\),解得\(a≥1\),又因为\(a≥-2\),所以得到\(a≥1\)。
当\(-\cfrac{a}{2}\ge 5\)时,即\(a≤-10\) 时,函数\(f(x)\)在区间 \([1,5]\)单调递减,
所以\(f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2≥0\),解得\(a≥-\cfrac{23}{5}\),
又因为\(a≤-10\),所以得到\(a\in\varnothing\)。
当\(1<-\cfrac{a}{2}<5\),即\(-10<a<-2\)时,\(f(x)min=f(-\cfrac{a}{2})=\cfrac{a^2}{4}-\cfrac{a^2}{2}-2≥0\),
得到\(a\in\varnothing\)。(这种情形可以省略)
综上可得\(a≥1。\)即\(a\)的取值范围是\([1,+∞)\)
\(\fbox{法2:(恒成立+分离参数法)}\)
两边同时除以参数\(a\)的系数\(x\)(由于\(x\in [1,5]\)取值为正值,同除时不需要考虑不等号的方向),得到
\(a≥\cfrac{2}{x}-x\)在区间 \([1,5]\)上恒成立, 转化为求新函数“\(\cfrac{2}{x}-x\)”在\([1,5]\)上的最大值。
这时我们一般是定义新函数,令\(g(x)=\cfrac{2}{x}-x\),
则利用函数单调性的结论,可以看到\(g(x)=\cfrac{2}{x}-x\)在区间 \([1,5]\)上单调递减,
所以\(g(x)_{max}=g(1)=1,\)所以\(a≥1\),即\(a\)的取值范围是\([1,+∞)\)
\(\fbox{例2}\)
已知函数\(f(x)=x^2 +ax-2a≥0\)在区间 \([1,5]\)上恒成立,求参数\(a\)的取值范围。
\(\fbox{法1}\)先求得对称轴\(x=-\cfrac{a}{2}\),
①由于\(\Delta=a^2+8a≤0\)时满足题意,解得\(-8≤a≤0\),
再考虑对称轴\(x=-\cfrac{a}{2}\)和给定区间\([1,5]\)的相对位置关系
②当\(-\cfrac{a}{2}≤1\)时,即\(a≥-2\)时,函数\(f(x)\)在区间\([1,5]\)单调递增,
所以\(f(x)_{min}=f(1)=1+a-2a≥0\),解得\(-2≤a≤1\),又因为\(a≥-2\),所以得到\(-2≤a≤1\)。
③当\(-\cfrac{a}{2}≥5\)时,即\(a≤-10\)时,函数\(f(x)\)在区间\([1,5]\)单调递减,
所以\(f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2a≥0\),解得\(a≥-\cfrac{25}{3}\),又因为\(a≤-10\),所以得到\(a\in\varnothing\).
④当\(1<-\cfrac{a}{2}<5\),即\(-10<a<-2\)时,\(f(x)_{min}=f(-\cfrac{a}{2})=\cfrac{a^2}{4}-\cfrac{a^2}{2}-2a≥0\),
得到\(-8≤a≤0\),又\(-10<a<-2\),所以\(-8≤a<-2\)(这种情形可以省略)
综上可得\(a\)的取值范围是\([-8,1]\)
法2:分离参数法,先转化为\((x-2)a\ge -x^2,x\in [1,5]\)
接下来就转化为了三个恒成立的命题了,
当\(x=2\)时,原不等式即\((2-2)a\ge -4\),\(a\in R\)都符合题意;
当\(2<x<5\)时,原不等式等价于\(a\ge \cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4=g(x)\)恒成立;
\(g(x)=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\leq 2\sqrt{(x-2)\cdot \cfrac{4}{x-2}}-4=-8\)
求得当\(x=4\)时,\(g(x)_{max}=-8\),故\(a\ge -8\)
当\(1<x<2\)时,原不等式等价于\(a\leq \cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4=g(x)\)恒成立;
\(g(x)=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\ge 2\sqrt{-(x-2)\cdot \cfrac{-4}{x-2}}-4=0\)
当且仅当\(x=0\)时取到等号,并不满足前提条件\(1<x<2\),故是错解。
此时需要借助对勾函数的单调性,函数\(y=x+\cfrac{4}{x}\)在区间\([1,2]\)上单调递增,
那么\(y=x-2+\cfrac{4}{x-2}\)在区间\([1,2]\)上单调递减,
\(y=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}\)在区间\([1,2]\)上单调递增,\(y=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\)在区间\([1,2]\)上单调递增,
故\(g(x)_{min}=g(1)=1\),故\(a\leq 1\)
以上三种情况取交集,得到\(a\in [-8,1]\)。
\(\color{Red}{能成立问题}\)
\(\fbox{例3}\)
已知函数\(f(x)=x^2 +ax-2≥0\)在区间 \([1,5]\)上能成立,求参数\(a\)的取值范围。
分析:同理得到\(a≥\cfrac{2}{x}-x\)在区间\([1,5]\)上能成立, 转化为求新函数\(\cfrac{2}{x}-x\)在\([1,5]\)上的最小值。
令\(g(x)=\cfrac{2}{x}-x,g(x)=\cfrac{2}{x}-x\)在区间 \([1,5]\)上单调递减,
所以\(g(x)_{min}=g(5)=-\cfrac{23}{5},\)所以\(a≥-\cfrac{23}{5}\)即\(a\)的取值范围是\([-\cfrac{23}{5},+∞)\)
需要注意的是这种命题作为一种数学模型,它们还有与其等价的叙述方法,它们常常考察我们的转化划归的能力。比如:
函数\(f(x)=x^2 +ax-2\ge 0\)在区间 [1,5]上恒成立 \(\Longleftrightarrow \forall x\in [1,5]\),都能使得函数\(f(x)=x^2 +ax-2\ge 0\)成立。
再比如: 函数\(f(x)=x^2 +ax-2\ge 0\)在区间 [1,5]上能成立,
\(\Longleftrightarrow\)不等式\(x^2 +ax-2\ge 0\)在区间 [1,5]上有解
\(\Longleftrightarrow\)不等式\(x^2 +ax-2\ge 0\)在区间 [1,5]上解集不是空集
\(\Longleftrightarrow\)不等式\(x^2 +ax-2\ge 0\)在区间 [1,5]上至少有一个解。
\(\color{Red}{恰成立命题}\)
\(\fbox{例4}\)已知函数\(f(x)=\sqrt{1+3^x+a\cdot 9^x},\)其定义域为\((-∞,1]\),则a的取值范围是\(a=-\cfrac{4}{9}\)。
解析:由题目可知\(1+3^x+a\cdot 9^x\ge 0\)的解集必须恰好是是\((-\infty,1]\),
即\((\cfrac{1}{9})^x+(\cfrac{1}{3})^x+a\ge 0\)的解集必须恰好是是\((-\infty,1]\),
令\((\cfrac{1}{3})^x=t\),则\(t\in[\cfrac{1}{3},+\infty)\),则\(g(t)=t^2+t+a>=0\)的解集必须是\([\cfrac{1}{3},+\infty)\),
则\(g(\cfrac{1}{3})=0\),所以\(9a+4=0,a=-\cfrac{4}{9}\)。
反思总结:本题有两种变换,其一令\(3^x=t\in(0,3]\),变换得到\(h(t)=at^2+t+1\ge0\)的解集必须是\((0,3]\);
其二令\((\cfrac{1}{3})^x=t\),则\(t\in[\cfrac{1}{3},+\infty)\),则\(g(t)=t^2+t+a>=0\)的解集必须是\([\cfrac{1}{3},+\infty)\),
变换二比变换一要好处理、好理解一些。图像说明
\(\fbox{例1}\)
如:不等式\(x^2 -(a^2+a)x+a^3≤0\)在区间 \([-1,1]\)上恰成立(或者不等式\(x^2 -(a^2+a)x+a^3≤0\)的解集是\([-1,1]\)),求参数\(a\)的取值。
解析:\(f(x)=x^2 -(a^2+a)x+a^3 ≤0\)在区间 \([-1,1]\)上恰成立,则\(f(-1)=0,f(1)=0\),解得\(a= -1\).
\(\fbox{例2}\)
若函数\(f(x)=\cfrac{x^3}{3}-\cfrac{3x^2}{2}+ax+4\)恰在\([-1,4]\)上单调递减,则实数\(a\)的值为\(-4\).
解析:\(f'(x)=x^2-3x+a≤0\)的解集是\([-1,4]\),则\(4\)是方程\(x^2-3x+a=0\)的根,故实数\(a= - 4\).
\(\fbox{例5}\)【2018福建四地六校联考】
已知函数\(f(x)=x+\cfrac{a}{x}+2\)的值域为\((-\infty,0]\cup[4,+\infty)\),求\(a\)的值。
分析:本题目属于恰成立命题,
当\(x>0\)时,\(f(x)=x+\cfrac{a}{x}+2\ge 2\sqrt{a}+2=4\),解得\(a=1\),当且仅当\(x=1\)时取到等号;
当\(x<0\)时,\(f(x)=x+\cfrac{a}{x}+2\leq -2\sqrt{a}+2=0\),解得\(a=1\),当且仅当\(x=-1\)时取到等号;
综上可知,\(a=1\)。
原文地址:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/9428947.html