恒成立、能成立和恰成立三类命题赏析【初级和中级辅导】

恒成立、能成立和恰成立三类命题赏析

恒成立、能成立和恰成立三类命题是高三数学中比较常见的高频命题,尤其是恒成立、能成立命题,让许多学生感到头疼不已。考查的频次多,难度大,所以深入思考和总结这类命题的规律显得非常必要和迫切,同时和恒成立、能成立命题紧密相连的变形技巧----分离参数法,更是非常普遍和常用的一种数学变形方法。

\(\color{Red}{恒成立问题}\)

\(\fbox{例1}\)已知函数\(f(x)=x^2 +ax-2\ge 0\)在区间\([1,5]\)上恒成立,求参数\(a\)的取值范围。

\(\fbox{常规法1(二次函数法)}\)由于\(\Delta=a^2+8>0\),

故不需要考虑\(\Delta<0\)的情形,只需要考虑对称轴\(x=-\cfrac{a}{2}\)和给定区间\([1,5]\)的相对位置关系

当\(-\cfrac{a}{2}\leq 1\)时,即\(a≥-2\)时,函数\(f(x)\)在区间\([1,5]\)单调递增,

所以\(f(x)_{min}=f(1)=1+a-2≥0\),解得\(a≥1\),又因为\(a≥-2\),所以得到\(a≥1\)。

当\(-\cfrac{a}{2}\ge 5\)时,即\(a≤-10\) 时,函数\(f(x)\)在区间 \([1,5]\)单调递减,

所以\(f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2≥0\),解得\(a≥-\cfrac{23}{5}\),

又因为\(a≤-10\),所以得到\(a\in\varnothing\)。

当\(1<-\cfrac{a}{2}<5\),即\(-10<a<-2\)时,\(f(x)min=f(-\cfrac{a}{2})=\cfrac{a^2}{4}-\cfrac{a^2}{2}-2≥0\),

得到\(a\in\varnothing\)。(这种情形可以省略)

综上可得\(a≥1。\)即\(a\)的取值范围是\([1,+∞)\)

\(\fbox{法2:(恒成立+分离参数法)}\)
两边同时除以参数\(a\)的系数\(x\)(由于\(x\in [1,5]\)取值为正值,同除时不需要考虑不等号的方向),得到

\(a≥\cfrac{2}{x}-x\)在区间 \([1,5]\)上恒成立, 转化为求新函数“\(\cfrac{2}{x}-x\)”在\([1,5]\)上的最大值。

这时我们一般是定义新函数,令\(g(x)=\cfrac{2}{x}-x\),

则利用函数单调性的结论,可以看到\(g(x)=\cfrac{2}{x}-x\)在区间 \([1,5]\)上单调递减,

所以\(g(x)_{max}=g(1)=1,\)所以\(a≥1\),即\(a\)的取值范围是\([1,+∞)\)

\(\fbox{例2}\)

已知函数\(f(x)=x^2 +ax-2a≥0\)在区间 \([1,5]\)上恒成立,求参数\(a\)的取值范围。

\(\fbox{法1}\)先求得对称轴\(x=-\cfrac{a}{2}\),

①由于\(\Delta=a^2+8a≤0\)时满足题意,解得\(-8≤a≤0\),

再考虑对称轴\(x=-\cfrac{a}{2}\)和给定区间\([1,5]\)的相对位置关系

②当\(-\cfrac{a}{2}≤1\)时,即\(a≥-2\)时,函数\(f(x)\)在区间\([1,5]\)单调递增,

所以\(f(x)_{min}=f(1)=1+a-2a≥0\),解得\(-2≤a≤1\),又因为\(a≥-2\),所以得到\(-2≤a≤1\)。

③当\(-\cfrac{a}{2}≥5\)时,即\(a≤-10\)时,函数\(f(x)\)在区间\([1,5]\)单调递减,

所以\(f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2a≥0\),解得\(a≥-\cfrac{25}{3}\),又因为\(a≤-10\),所以得到\(a\in\varnothing\).

④当\(1<-\cfrac{a}{2}<5\),即\(-10<a<-2\)时,\(f(x)_{min}=f(-\cfrac{a}{2})=\cfrac{a^2}{4}-\cfrac{a^2}{2}-2a≥0\),

得到\(-8≤a≤0\),又\(-10<a<-2\),所以\(-8≤a<-2\)(这种情形可以省略)

综上可得\(a\)的取值范围是\([-8,1]\)

法2:分离参数法,先转化为\((x-2)a\ge -x^2,x\in [1,5]\)

接下来就转化为了三个恒成立的命题了,

当\(x=2\)时,原不等式即\((2-2)a\ge -4\),\(a\in R\)都符合题意;

当\(2<x<5\)时,原不等式等价于\(a\ge \cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4=g(x)\)恒成立;

\(g(x)=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\leq 2\sqrt{(x-2)\cdot \cfrac{4}{x-2}}-4=-8\)

求得当\(x=4\)时,\(g(x)_{max}=-8\),故\(a\ge -8\)

当\(1<x<2\)时,原不等式等价于\(a\leq \cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4=g(x)\)恒成立;

\(g(x)=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\ge 2\sqrt{-(x-2)\cdot \cfrac{-4}{x-2}}-4=0\)

当且仅当\(x=0\)时取到等号,并不满足前提条件\(1<x<2\),故是错解。

此时需要借助对勾函数的单调性,函数\(y=x+\cfrac{4}{x}\)在区间\([1,2]\)上单调递增,

那么\(y=x-2+\cfrac{4}{x-2}\)在区间\([1,2]\)上单调递减,

\(y=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}\)在区间\([1,2]\)上单调递增,\(y=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\)在区间\([1,2]\)上单调递增,

故\(g(x)_{min}=g(1)=1\),故\(a\leq 1\)

以上三种情况取交集,得到\(a\in [-8,1]\)。

\(\color{Red}{能成立问题}\)

\(\fbox{例3}\)

已知函数\(f(x)=x^2 +ax-2≥0\)在区间 \([1,5]\)上能成立,求参数\(a\)的取值范围。

分析:同理得到\(a≥\cfrac{2}{x}-x\)在区间\([1,5]\)上能成立, 转化为求新函数\(\cfrac{2}{x}-x\)在\([1,5]\)上的最小值。

令\(g(x)=\cfrac{2}{x}-x,g(x)=\cfrac{2}{x}-x\)在区间 \([1,5]\)上单调递减,

所以\(g(x)_{min}=g(5)=-\cfrac{23}{5},\)所以\(a≥-\cfrac{23}{5}\)即\(a\)的取值范围是\([-\cfrac{23}{5},+∞)\)

需要注意的是这种命题作为一种数学模型,它们还有与其等价的叙述方法,它们常常考察我们的转化划归的能力。比如:

函数\(f(x)=x^2 +ax-2\ge 0\)在区间 [1,5]上恒成立 \(\Longleftrightarrow \forall x\in [1,5]\),都能使得函数\(f(x)=x^2 +ax-2\ge 0\)成立。

再比如: 函数\(f(x)=x^2 +ax-2\ge 0\)在区间 [1,5]上能成立,

\(\Longleftrightarrow\)不等式\(x^2 +ax-2\ge 0\)在区间 [1,5]上有解

\(\Longleftrightarrow\)不等式\(x^2 +ax-2\ge 0\)在区间 [1,5]上解集不是空集

\(\Longleftrightarrow\)不等式\(x^2 +ax-2\ge 0\)在区间 [1,5]上至少有一个解。

\(\color{Red}{恰成立命题}\)

\(\fbox{例4}\)已知函数\(f(x)=\sqrt{1+3^x+a\cdot 9^x},\)其定义域为\((-∞,1]\),则a的取值范围是\(a=-\cfrac{4}{9}\)。

解析:由题目可知\(1+3^x+a\cdot 9^x\ge 0\)的解集必须恰好是是\((-\infty,1]\),

即\((\cfrac{1}{9})^x+(\cfrac{1}{3})^x+a\ge 0\)的解集必须恰好是是\((-\infty,1]\),

令\((\cfrac{1}{3})^x=t\),则\(t\in[\cfrac{1}{3},+\infty)\),则\(g(t)=t^2+t+a>=0\)的解集必须是\([\cfrac{1}{3},+\infty)\),

则\(g(\cfrac{1}{3})=0\),所以\(9a+4=0,a=-\cfrac{4}{9}\)。

反思总结:本题有两种变换,其一令\(3^x=t\in(0,3]\),变换得到\(h(t)=at^2+t+1\ge0\)的解集必须是\((0,3]\);

其二令\((\cfrac{1}{3})^x=t\),则\(t\in[\cfrac{1}{3},+\infty)\),则\(g(t)=t^2+t+a>=0\)的解集必须是\([\cfrac{1}{3},+\infty)\),

变换二比变换一要好处理、好理解一些。图像说明

\(\fbox{例1}\)

如:不等式\(x^2 -(a^2+a)x+a^3≤0\)在区间 \([-1,1]\)上恰成立(或者不等式\(x^2 -(a^2+a)x+a^3≤0\)的解集是\([-1,1]\)),求参数\(a\)的取值。

解析:\(f(x)=x^2 -(a^2+a)x+a^3 ≤0\)在区间 \([-1,1]\)上恰成立,则\(f(-1)=0,f(1)=0\),解得\(a= -1\).

\(\fbox{例2}\)

若函数\(f(x)=\cfrac{x^3}{3}-\cfrac{3x^2}{2}+ax+4\)恰在\([-1,4]\)上单调递减,则实数\(a\)的值为\(-4\).

解析:\(f'(x)=x^2-3x+a≤0\)的解集是\([-1,4]\),则\(4\)是方程\(x^2-3x+a=0\)的根,故实数\(a= - 4\).

\(\fbox{例5}\)【2018福建四地六校联考】

已知函数\(f(x)=x+\cfrac{a}{x}+2\)的值域为\((-\infty,0]\cup[4,+\infty)\),求\(a\)的值。

分析:本题目属于恰成立命题,

当\(x>0\)时,\(f(x)=x+\cfrac{a}{x}+2\ge 2\sqrt{a}+2=4\),解得\(a=1\),当且仅当\(x=1\)时取到等号;

当\(x<0\)时,\(f(x)=x+\cfrac{a}{x}+2\leq -2\sqrt{a}+2=0\),解得\(a=1\),当且仅当\(x=-1\)时取到等号;

综上可知,\(a=1\)。

原文地址:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/9428947.html

时间: 2024-11-09 06:34:54

恒成立、能成立和恰成立三类命题赏析【初级和中级辅导】的相关文章

typeof(undefined) == undefined 成立吗?

1.问题:在Javascript中,typeof(undefined) == undefined成立吗? 答案:不成立,全局函数 typeof()返回值类型为字符串类型,六个可能值: "number", "string", "boolean", "object" ,"function", 和 "undefined". 只有 typeof(undefined) =="undefi

[转]logX&lt;X对所有的X&gt;0成立

本文引用地址:http://blog.sciencenet.cn/blog-1865911-831450.html 此文来自科学网何召卫博客,转载请注明出处. 这个命题网上有多种证法,有人甚至采用斜率和图形的方式.我不是数学老师,不能评判正确性,个人觉得归纳法比较传统也比较严密,这里推荐归纳法,答案中找到的,只是整理出来,顺便学习. 如果  如果X = 1 logX = 0 -> 0 < 1 命题成立 否则 logX < 0 而 X > 0 所以 命题成立 如果 1 < X

C#中的类型相等与恒等(Equality &amp; Identity)

l  Equality:如果两个对象是相同的类型,并且它们各自带有相同和等值的属性.(They are instances of the same type and if each of the fields in one object matches the values of the fields in the other object) Equality必须满足三个必要条件:reflexive, symmetrics, and transitivereflexive: 自身相等,及a==a

少年中国说 梁启超

日本人之称我中国也,一则曰老大帝国,再则曰老大帝国.是语也,盖袭译欧西人之言也.呜呼!我中国其果老大矣乎?任公曰:恶!是何言!是何言!吾心目中有一少年中国在. 欲言国之老少,请先言人之老少.老年人常思既往,少年人常思将来.惟思既往也,故生留恋心:惟思将来也,故生希望心.惟留恋也,故保守:惟希望也,故进取.惟保守也,故永旧:惟进取也,故日新.惟思既往也,事事皆其所已经者,故惟知照例:惟思将来也,事事皆其所未经者,故常敢破格.老年人常多忧虑,少年人常好行乐.惟多忧也,故灰心:惟行乐也,故盛气.惟灰心

台湾芯片产业的兴与衰:输赢千亿美元的生死搏杀

综观台湾DRAM产业发展三十年来,最终落得一地鸡毛.究其根源,在于台湾省政府盲目听信美国主导的自由市场经济理论.1980年代,台湾省政府还能在产业政策.产业技术上,对DRAM产业进行扶持.到2000年后,尽管陈水扁政府提出了“两兆双星”产业政策,但是对DRAM产业.液晶面板产业缺乏扶持力度,缺乏产业主导能力,导致台湾DRAM.液晶面板产业,在小而散的错误道路上越走越远,最终被韩国企业全面击溃. 1974年,台湾省台北市航拍照片,可能是重庆北路与民族东路,由美国战略司令部(STRATCOM)陆军航

探索性思维——How to Solve It

我觉得这篇文章和什么都能扯上点关系,比如编程. 很多人已经讨论过数学与编程的关系了,这里不想过多探讨,只是简单提一下:有些人把数学贬低地一文不值,认为做一般的应用软件用不到数学:而有些人则把数学拔高到一个很高的位置,认为一些比较上层的领域像机器学习,包括其父.子类人工智能和深度学习都需要用到些相对晦涩的数学知识.我的看法是:尽自己的能力学习更多的数学知识总是没有坏处的.当然,辨证的来看,过度学习偏废了机器本身也就不说什么了(仁者仁智者智吧,王垠也写过一篇文章,我想附在这里:数学与编程,希望勿喷,

汇集了很多swift 学习指南

https://github.com/ipader/SwiftGuide 1,059   Unstar7,294 Fork1,966 ipader/SwiftGuide CodeIssues 0Pull requests 0WikiPulseGraphs 这份指南汇集了Swift语言主流学习资源,并以开发者的视角整理编排.http://dev.swiftguide.cn 376 commits 3 branches 0 releases 12 contributors Swift 100.0%

【抽象代数】 03 - 商群和直积

1. 陪集 现在继续研究群的分解,先来讨论一般子群之间.以及子群和父群的关系.首先根据子群的判定条件,如果\(H,K\leqslant G\),则很容易有\(H\cap G\leqslant G\).那么\(H\cup G\)呢?当然这里\(H,K\)都是真子群,并且不互相包含.从\(H\)中取元素\(h\not\in K\),从\(K\)中取元素\(k\not\in H\),则容易证明\(hk\not\in H\cup G\),从而\(H,K\)一定不是\(G\)的子集. 如果再把\(hk\)

浅谈关于特征选择算法与Relief的实现

一. 背景 1) 问题 在机器学习的实际应用中,特征数量可能较多,其中可能存在不相关的特征,特征之间也可能存在相关性,容易导致如下的后果: 1.     特征个数越多,分析特征.训练模型所需的时间就越长,模型也会越复杂. 2.     特征个数越多,容易引起“维度灾难”,其推广能力会下降. 3.     特征个数越多,容易导致机器学习中经常出现的特征稀疏的问题,导致模型效果下降. 4.     对于模型来说,可能会导致不适定的情况,即是解出的参数会因为样本的微小变化而出现大的波动. 特征选择,能