高等数学(4) 数列与数列极限

一、数列与数列极限

刘徽——割圆术

还可以表示为 xn= 1- 1/(2^n)

因为棒长是固定1 减去最后一天剩下的 也是截取的总长

1-1/(2^n)无限趋近于1

数列的定义

·按自然数1,2,3,…编号依次排列的一列数 x1 x2 … xn … 称为无穷数列 简称数列

·其中每个数称为数列的项，xn称为通项(一般项) 此数列可记为{xn}

例如 2 4 8 …2^n… {2^n}

问题

·当n无限增大时 xn是否无限接近某一确定的数指

上面实验 当n无限增大时 数列{1+ ( (-1)^(n-1) )/n

问题

·无限接近意味着什么 如何用数学语言刻画它

数列的极限

·如果对于任意给定的正数e(不论它多么小)

·总存在正整数N，

·使得对于n>N时的一切xn

·不等式|xn-a|<e都成立,

那么就称常数a是数列xn的极限 或者称数列xn收敛于a

记为lim n->∞ xn = a (或xn ->a(n->∞))

注意

·注1:如果数列没有极限，就说数列是发散的(不收敛的

·注2:不等式|xn-a|<e 刻画了xn与a无限接近

·注3:定义中正整数N与任意给定的正数e有关

数列极限的几何解释

将a表示出来 然后做a的邻域

当n>N的时候，所有的点都会落入到橘黄色的开区间内 只有有限个(至多有N个 不大于大N的)落在其外

e-N语言

任意符号(把A倒置过来

存在符号(把E反转过来

·数列极限定义并未给出求极限的方法

例题1:

例题2:

例题3:

数列的极限

·如果对于任意给定的正数 (不论它多么小)

·总存在正整数N，

·使得对于n>N时的一切xn

·不等式|xn-a|<都成立,

那么就称常数a是数列xn的极限 或者称数列xn收敛于a

记为lim n->∞ xn = a (或xn ->a(n->∞))

二、收敛数列的性质

收敛：有极限

发散：无极限

收敛数列的性质:

1.有界性

·对数列xn 若存在正数M

·使得一切自然数n 恒有|xn|<M成立

则称数列xn有界，否则，称为无界

有界

无界

定理一 收敛的数列必定有界

证明:

由定义,取

则 使得当n>N时 恒有|xn-a|<1 即有a-1<xn<a+1

记M= max{|x1|,…,|xn|,|a-1|,|a+1|}

则对一切自然数n,皆有|xn|<M,故{xn}有界

注:有界性是数列收敛的必要条件

2.唯一性

定理2 每个收敛的数列只有一个极限

3.保号性

如果

且a>0(或a<0) 那么存在正整数N>0 当n>N时

都有xn>0(或xn<0)

4.收敛数列与其子数列间的关系

如果数列收敛于a，则它的任一子数列也收敛 且极限也是a

4.收敛数列与其子数列间的关系

如果数列收敛于a，则它的任一子数列也收敛 且极限也是a

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