欧拉图详解
通过图（无向图或有向图）中所有边一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路，通过图中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图（Euler Graph），具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。
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定义
欧拉通路(Euler tour)——通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的通路。
欧拉回路 (Eulercircuit)——通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的回路。
2
无向图是否具有欧拉通路或回路的判定
G有欧拉通路的充分必要条件为：G 连通，G中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。
G有欧拉回路(G为欧拉图)：G连通，G中均为偶度顶点。
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有向图是否具有欧拉通路或回路的判定
D有欧拉通路：D连通，除两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度，这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的入度比出度小1。
D有欧拉回路(D为欧拉图)：D连通，D中所有顶点的入度等于出度。
(注意：这里说有向图连通，说的是有向图是弱连通图。即把有向图中的边变成无向边，只要该图连通，那么原有向图即是弱连通图。实际中可用并查集判断是否弱连通)
注意下面打印节点的代码，其实打印欧拉路径的节点轨迹可以先打印每条欧拉路上的边，然后取每条边的头结点即可(最后一条边还需要取尾部结点)。
对于一般的单词首尾相连的问题，一般都是转化为有向图的欧拉通路问题(而不是无向图)，比如”给你多个单词,问你能不能将所有单词组成这样一个序列:序列的前一个单词的尾字母与后一个单词的头字母相同”，如果你把每个单词看出无向的边，那么最终求出的欧拉通路可能存在两个单词尾部和尾部相连的情况。
无向欧拉图(半欧拉图)逆序打印欧拉回路或通路代码：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100+5;
//无向图打印欧拉路径或回路
//输入保证是一个n顶点,m条边的具有欧拉回路或欧拉路径的无向图
int n;//图中顶点,顶点编号1到n
int m;//图中边
int G[maxn][maxn];
int vis[maxn][maxn];//vis[i][j]==1表示i与j点直接存在一条边
//打印欧拉路径或欧拉回路(必须本图有欧拉路径或回路才行)
//打印的结果中最后一条边才是u开始的,打印的第一条边不一定是u开始的
//如果是打印欧拉路径,那么输入的u一定要是起点之一,即度数为奇数的点之一
//否则euler打印的的边不会构成欧拉路径,只不过是乱序打印图中所有的边而已
void euler(int u)
{
for(int v=1;v<=n;v++)if(vis[u][v]||vis[v][u])
{
//递归思想,去掉了u与v这条边,
//余图还是一个具有欧拉道路的图,且v变成一个起点了
vis[u][v]=vis[v][u]=0;
euler(v);
printf("%d %d\n",u,v);
}
}
//输出欧拉回路或路径上按顺序经过的节点
//u也必须要是起点之一,否则输出的也是乱序点而已
void euler_point(int u)
{
for(int v=1;v<=n;v++)if(vis[u][v] || vis[v][u])
{
vis[u][v]=vis[v][u]=0;
euler_point(v);
}
printf("%d\n",u);
}
int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)
{
memset(G,0,sizeof(G));
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
G[u][v]=G[v][u]=1;//无向图
vis[u][v]=vis[v][u]=1;
}
int u;
scanf("%d",&u);
euler_point(u);
}
return 0;
}
有向欧拉图(半欧拉图)逆序打印欧拉回路或通路代码：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100+5;
//有向图打印欧拉路径或回路
//输入保证是一个n顶点,m条边的具有欧拉回路或欧拉路径的有向图
int n;//图中顶点,顶点编号1到n
int m;//图中边
int G[maxn][maxn];
int vis[maxn][maxn];//vis[i][j]==1表示i到j点存在一条边
//打印欧拉路径或欧拉回路(必须本图有欧拉路径或回路才行)
//打印的结果中最后一条边才是u开始的,打印的第一条边不一定是u开始的
//如果是打印欧拉路径,那么输入的u一定要是起点之一,即abs(入度-出度)==1
//且如果是出度-入度==1的点,那么该点就应该是欧拉图的起点,但是会逆序输出,所以最后才输出
//否则euler打印的的边不会构成欧拉路径,只不过是乱序打印图中所有的边而已
void euler(int u)
{
for(int v=1;v<=n;v++)if(vis[u][v])
{
//递归思想,去掉了u与v这条边,
//余图还是一个具有欧拉道路的图,且v变成一个起点了
vis[u][v]=0;
euler(v);
printf("%d %d\n",u,v);
}
}
//逆序输出欧拉回路或路径上按顺序经过的节点
//u也必须要是起点之一,否则输出的也是乱序点而已
void euler_point(int u)
{
for(int v=1;v<=n;v++)if(vis[u][v])
{
vis[u][v]=0;
euler_point(v);
}
printf("%d\n",u);
}
int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)
{
memset(G,0,sizeof(G));
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
G[u][v]=1;//有向图
vis[u][v]=1;
}
int u;
scanf("%d",&u);
euler(u);
}
return 0;
}
欧拉图应用
POJ 2513 Colored Sticks(欧拉回路判断+字典树Trie+并查集)：其实就是判定是否存在欧拉图，首先欧拉图必须连通，所以需要用并查集。然后本图中的每个节点是一个单词，所以需要用单词映射成节点编号(用map<string,int>映射可能会超时)，所以需要用字典序映射。解题报告！
POJ 1041 John‘s trip(欧拉回路+输出路径)：输出字典序最小的欧拉回路。解题报告！
POJ 2337 Catenyms(有向欧拉图：输出欧拉路径)：有向图输出字典序最小的欧拉路径。解题报告！
POJ 1300 Door Man(欧拉回路判定)：判断无向图是否存在欧拉通路。解题报告！
POJ 2230 Watchcow(欧拉回路:输出点轨迹)：输出有向图的欧拉回路点轨迹。解题报告！
POJ 1386 Play on Words(判定图欧拉通路是否存在)：有向图欧拉道路问题。解题报告！
HDU 1878 欧拉回路(简单欧拉回路判定)：简单无向图欧拉问题判定。解题报告！
HDU 3018 Ant Trip(欧拉回路:一笔画问题)：给你一个无向的欧拉图，你需要几笔才能一笔画完整个图？解题报告！