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题目传送门 - CF1009G
题意
给定一个长度为 $n$ 的字符串 $s$ 。并给定 $m$ 条限制,第 $i$ 条限制声明了第 $i$ 个位置的字符可以取的值。如果没有声明表示可以任意取值。
求一个字符串 $s$ 的排列,在满足 $m$ 条限制的同时,使得字典序最小。如果不存在满足限制条件的字符串,则输出 $-1$。
$n,m\leq 10^5$,字符集 $ = {‘a‘,‘b‘,‘c‘,‘d‘,‘e‘,‘f‘}$
题解
我们先考虑如何判定是否有解。
统计一下原字符串中每一个字母的出现次数。容易建出一个二分图,左侧的 $n$ 个节点为字符串的每一个位置,右侧的 $n$ 个节点为 $n$ 个字母,这 $n$ 个字母中每种字符的出现次数等于原字符串中对应字符的出现次数;对于左侧的每一个点,即字符串的每一个位置,向它所能填的字母连上边(补充一下:这样做,右侧相同字母节点其实是等价的)。那么,只需要求出最大匹配数,就可以知道最多有多少个位置可以放正确的字母。
然而,我们是否可以得到一种较快的判定是否有完美匹配的做法呢?显然有啊。
霍尔定理:设一个二分图 G 中的两部分顶点组成的集合分别为 X, Y ,则 G 中有一组无公共点的边,一端恰好为组成X的点的充分必要条件是:X中的任意k个点至少与Y中的k个点相邻。
根据霍尔定理,得到:
命题1 :一个满足 |X| = |Y| 的二分图,存在完美匹配的充分必要条件是:在 X 中任选 k 个点,至少与 y 中 k 个点相邻;在 Y 中任选 k 个点,至少与 x 中 k 个点相邻。
回到原图。
代码
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=100005; int read(){ int x=0; char ch=getchar(); while (!isdigit(ch)) ch=getchar(); while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-48,ch=getchar(); return x; } char s[N]; int n,v[N],suf[N][64],tot[64],sum[64],Log[64]; void getv(){ int m=read(); memset(v,0,sizeof v); while (m--){ int id=read(); char s[10]; scanf("%s",s+1); int len=strlen(s+1); for (int i=1;i<=len;i++) v[id]|=1<<(s[i]-‘a‘); } for (int i=1;i<=n;i++) if (v[i]==0) v[i]=63; } bool check(int p){ sum[0]=0; for (int i=1;i<64;i++){ sum[i]=sum[i^(i&-i)]+tot[i&-i]; if (sum[i]<suf[p][i]) return 0; } return 1; } int main(){ Log[1]=0; for (int i=2;i<64;i++) Log[i]=Log[i>>1]+1; gets(s+1); n=strlen(s+1); getv(); memset(tot,0,sizeof tot); for (int i=1;i<=n;i++) tot[1<<(s[i]-‘a‘)]++; memset(suf,0,sizeof suf); for (int i=n;i>=1;i--){ for (int j=0;j<64;j++) suf[i][j]=suf[i+1][j]; suf[i][v[i]]++; } for (int id=1;id<=n;id++) for (int i=1;i<64;i<<=1) for (int j=0;j<64;j++) if (j&i) suf[id][j]+=suf[id][j^i]; if (!check(1)){ printf("Impossible"); return 0; } for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=v[i],k=j&-j;j;j^=k,k=j&-j){ tot[k]--; if (check(i+1)){ putchar(‘a‘+Log[k]); break; } tot[k]++; } return 0; }
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