二部图的匹配

Konig-Hall 定理：

在二部图 G = ( X, Y ) 中，若 X 能够全部被饱和当且仅当对于 X 的任意子集 S 都满足 | N( S ) | ≥ | S |.

Hall 匹配定理：

在二部图 G = ( X, Y ) 中，若 G 存在完美匹配当且仅当 | X | = | Y | 且对于 X 的任意子集 S 都满足 i( G - S ) ≤ | S |.

Konig1916：

任意 r-正则二部图 G 都可以分解为 r 个不相交的 1-因子.

Konig-Ore：

μ( G ) = | X | - max{ | S | - | N( S ) | | S ? X }

Dulmage-Mendelsohn定理:

若 M1，M2 是二部图 G = ( X, Y ) 的两个匹配，

那么存在一个匹配 M ? ( M1 ∪ M2 ) 使得 M 覆盖所有 X 中被 M1 覆盖的点和所有 Y 中被 M2 覆盖的点，

即 ( V( M1 ) ∩ X ) ∪ ( V( M2 ) ∩ Y ) ? V( M )

以度作为充分条件的定理：

G = ( X, Y ) 中 | X | = | Y | = n，若 δ( G ) ≥ n / 2，则 G 含有 1-因子.

Liu-Zhou 定理：

若 G= ( X, Y ) 是连通二分图，则 G 的导出匹配数为 iμ( G ) = max{ | S | | S ? X 且对于任意 T ? S 有 N( S ) ≠ N( T ) }