算法导论读书笔记（16）

目录

• 动态顺序统计
  
  • 检索具有给定排序的元素
  
  
  • 确定一个元素的秩


• 区间树
  
  • 步骤1：基础数据结构
  
  
  • 步骤2：附加信息
  
  
  • 步骤3：维护信息
  
  
  • 步骤4：设计新操作

动态顺序统计

之前介绍过 顺序统计
的概念。在一个无序的集合中，任意的顺序统计量都可以在 O ( n )时间内找到。而这里我们将介绍如何在
O ( lg n )时间内确定任意的顺序统计量。

下图显示的是一种支持快速顺序统计量操作的数据结构。一棵 顺序统计树 T
通过在红黑树的每个结点中存入附加信息而成。在一个结点 x 内，增加域 x.size 。该域包含以结点
x 为根的子树的（内部）结点数（包括 x 本身），即子树的大小。设 T.nil.size
为0，则有

x.size = x.left.size +
x.right.size + 1

检索具有给定排序的元素

过程 OS-SELECT(x, i) 返回一个指向以 x 为根的子树中包含第 i
小关键字的结点的指针。为找出顺序统计树 T 中的第 i 小关键字，调用过程
OS-SELECT(T.root, i) 。

OS-SELECT(x, i)

1 r = x.left.size + 1

2 if i == r

3     return x

4 elseif i < r

5     return OS-SELECT(x.left, i)

6 else

7     return OS-SELECT(x.right, i)

对含 n 个元素的动态集合， OS-SELECT 的运行时间为 O ( lg
n )。

确定一个元素的秩

给定指向一顺序统计树 T 中结点 x 的指针，过程 OS-RANK 返回在对
T 进行中序遍历后得到的线性序中 x 的位置。

OS-RANK(T, x)

1 r = x.left.size + 1

2 y = x

3 while y != T.root

4     if y == y.p.right

5         r = r + y.p.left.size + 1

6     y = y.p

7 return r

x 的秩可以视为在对树的中序遍历中，排在 x 之前的结点个数再加1（ x
本身）。在最坏情况下，对含 n 个结点的顺序统计树， OS-RANK 的运行时间为 O
( lg n )。

区间树

在算法设计过程中，经常需要对基本的数据结构进行扩张，以便支持一些新功能。而对一种数据结构的扩张过程通常可以分为四个步骤：

1. 选择基础数据结构


2. 确定要在基础数据结构中添加哪些信息


3. 验证可用基础数据结构上的基本修改操作来维护这些新添加的信息


4. 设计新的操作

以上只是给出了一个一般模式，设计顺序统计树时，我们就依照了这些步骤。

在这里，我们要扩展红黑树以支持由区间构成的动态集合上的操作（假设区间都是闭区间）。一个 闭区间
是一个实数的有序对[ t₁, t₂ ]，其中 t₁ <=
t₂ 。我们可以把一个区间[ t₁, t₂ ]表示成一个对象，其各个域为
i.low = t₁ （低端点）， i.high = t₂
（高端点）。任意两个区间 i 和 i‘ 都满足 区间三分法 ，即：

• i 和 i‘ 重叠（ i.low <= i‘.high
  ，且 i‘.low <= i.high ）


• i 在 i‘ 左边（ i.high < i‘.low
  ）


• i 在 i‘ 右边（ i‘.high < i.low
  ）

区间树是一种对动态集合进行维护的红黑树，该集合中的每个元素 x 都包含一个区间 x.int
。区间树支持下列操作：

• INTERVAL-INSERT(t, X) ：将包含区间域 int 的元素
  x 插入到区间树 T 中。


• INTERVAL-DELETE(T, x) ：从区间树 T 中删除元素 x
  。


• INTERVAL-SEARCH(T, i) ：返回一个指向区间树 T 中元素
  x 的指针，使 x.int 与 i 重叠；否则返回 T.nil
  。

下面就按之前提到的四个步骤，来分析和设计区间树上的各种操作。

步骤1：基础数据结构

基础数据结构为红黑树，其中每个结点 x 包含一个区间域 x.int ， x
的关键字为区间的低端点 x.int.low 。

步骤2：附加信息

每个结点还要包含一个值 x.max ，即以 x 为根的子树中所有区间的端点的最大值。

步骤3：维护信息

必须验证对含 n 个结点的区间树的插入和删除能在 O ( lg n
)时间内完成。给定区间 x.int 和 x 的子结点的 max 值，可以确定
x.max = max ( x.int.high ,
x.left.max , x.right.max )。

步骤4：设计新操作

唯一需要的新操作是 INTERVAL-SEARCH 。

INTERVAL-SEARCH(T, i)

1 x = T.root

2 while x != T.nil and i does not overlap x.int

3     if x.left != T.nil and x.left.max >= i.low

4         x = x.left

5     else

6         x = x.right

7 return x

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