约瑟夫环是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。
以下是使用循环链表和数组的两种实现：
1 #include<iostream>
2 using namespace std;
3
4 struct Node
5 {
6 int data;
7 Node *next;
8 };
9 void CreateLink(Node* &head,int count)
10 {
11 if(!head)
12 head=new Node;
13 head->data=count;
14 Node *pre=head;
15 while(--count>0)
16 {
17 Node * cur=new Node;
18 cur->data=count;
19 pre->next=cur;
20 pre=cur;
21 }
22 pre->next=head;//连接成环
23 }
24 void Traval(Node *link,int num)
25 {
26 Node *p=link;
27 while(num--)
28 {
29 cout<<p->data<<" ";
30 p=p->next;
31 }
32 }
33 void Josephus(Node *head,int m)
34 {
35 Node *pre,*cur;
36 pre=cur=head;
37 int i=1;
38 while(true)
39 {
40 if (i == m)
41 {
42 // 踢出环
43 cout<<cur->data<<" ";// 显示出圈循序
44 pre->next = cur->next;
45 delete cur;
46 cur = pre->next;
47 i = 1;
48 }
49 pre = cur;
50 cur = cur->next;
51 if (pre == cur)
52 {
53 // 最后一个
54 cout<<cur->data<<endl;// 显示出圈循序
55 cout<<cur->data<<" is the winner!"<<endl;
56 delete cur;
57 break;
58 }
59 i++;
60 }
61 }
62 void JosephusUseArray(int count,int m)
63 {
64 int *player=new int[count];
65 for(int i=1;i<=count;i++)
66 player[i-1]=count-(i-1);
67 int pos=-1;
68 int k=0;//已经出局人数
69 while(true)
70 {
71 if(k==count)//全部出局，游戏结束
72 break;
73 int i=0;
74 while(i<m)
75 {
76 pos=(pos+1)%count;
77 if(player[pos]!=-1)
78 i++;
79 }
80 k++;
81 cout<<player[pos]<<" ";
82 player[pos]=-1;//标识已经出局玩家
83 }
84 delete[] player;
85 }
86 int main()
87 {
88 int count;//总人数
89 int m;//报数间隔
90 cout<<"Please input total player number:";
91 cin>>count;
92 cout<<"Input m:";
93 cin>>m;
94 //以下 循环链表实现
95 Node *link=NULL;
96 CreateLink(link,count);
97 cout<<"玩家初始状态："<<endl;
98 Traval(link,count);
99 cout<<endl;
100 cout<<"Game start:"<<endl;
101 Josephus(link,m);
102 //end
103
104 //以下 数组实现
105 JosephusUseArray(count,m);
106
107 return 0;
108 }
另外，从别处看到了另一种非模拟游戏过程的数学解法，此处转载：
扩展：
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1)
出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k
k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ...
k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k
--> 0
k+1 -->
1
k+2 -->
2
...
...
k-2 -->
n-2
k-1 -->
n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x‘=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况
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这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;
(i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：
1 #include <stdio.h>
2 int main()
3 {
4 int n, m, i, s = 0;
5 printf ("N M = ");
6 scanf("%d%d", &n, &m);
7 for (i = 2; i <= n; i++)
8 {
9 s = (s + m) % i;
10 }
11 printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);
12 }
这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。
完结
约瑟夫环问题的两种实现[链表+数组],布布扣,bubuko.com