第一次作业第三问

参考书《数据压缩导论（第4版）》Page 30

3、给定符号集A={a1,a2,a3,a4},求一下条件下的一阶熵：

（a）P(a1)=P(a2)=P(a3)=P(a4)=1/4

（b）P(a1)=1/2 , P(a2)=1/4 , P(a3)=P(a4)=1/8 

（c）P(a1)=0.505 ,  P(a2)=1/4 , P(a3)=1/4 , P(a4)=0.12 

解：

因为：熵 H = -p_i * log(p_i) (i从1到m),

则有：

（ a ） H = 4*1/4*（-log₂（1/4））

= 2 (bit).

（ b ）H=-1/2log₂1/2 -1/4*log₂1/4 -2*1/8*log₂1/8

=1.75 (bit).

（ c ） H=-0.505*log₂0.505  + 1/4*log₂4  + 1/4*log₂4  - 0.12*log₂0.12

=-0.505*log₂0.505  +2*1/4*log₂4  - 0.12*log₂0.12

= 0.5 + 1 + 0.37

=1.87（bit）.

5.考虑以下序列：

          ATGCTTACGTGCTTAACCTGAAGCTTCCGCTGAAGAACCTG

          CTGAACCCGCTTAAGCTGAACCTTCTGAAGCTTAACCTGCTT

（a）根据此序列估计个概率值，并计算这一序列的一阶、二阶、三阶、四阶熵。

解：

序列中有字母84个，其中A出现21次，T出现23次，G出现16次，C出现24次，

得出每个字母的概率值如下：

P(A)=21/84=1/4、P(C)=24/84=2/7、P(G)=16/84=4/21、P(T)=23/84.

则熵为： H = 1/4*log₂4-2/7*log₂(2/7) -4/21*log₂(4/21) -23/84*log₂(23/84)

= 1.98(bit).

7.（a）编写一段程序，从包括26个字母的符号集{a,b,...,z}中随机选择字母，组成100个四字母单词，这些单词中有多少个是有意义的？

            答：

#include<stdio.h>
                     #include<time.h>
                     #include<stdlib.h>

int main()
                     {
                       int a,i,j;
                       char m[100][100];
                       for(i=0;i<100;i++)
                           {
                               for(j=0;j<4;j++)
                                    {
                                         a=rand()%26;
                                         m[i][j]=a+‘a‘;
                                    }
                              m[i][4]=‘\0‘;
                              printf("%d: %s \t",i+1,m[i]);
                           }
                         return 0;
                        }