1、定义
对于每个节点X,它的左子树中所有的项的值小于X的值,右子树所有项的值大于X的值。
如图:任意一个节点,都满足定义,其左子树的所有值小于它,右子树的所有值大于它。
2、平均深度
在大O模型中,二叉查找树的平均深度是O(logN) 。
证明:查找某个节点x的算法深度,即从根出发找到节点x的路径长。所有查找的平均深度,就是平均内部路径长。
- 假设二叉查找树共N个节点,假设左子树有i个节点,则右子树节点数目:N-i-1。
- 假设D(N)表示具有N个基点的内部路径长。则N个节点的树的内部路径长:D(N) = D(i) + D(N-i-1) + N -1。(因为i为左子树,N-i-1 为右子树,所以其实际深度应该加上根节点的深度,所有每个节点都应该+1,除根外共有N-1个节点,所以最后要加上N-1)
- j根i在求和中没有实际的区别,都是计数而已。
对D(N)进行i=(0,N-1)求和: (公式只能用word写出然后截图过来)
求解公式:得到
3、代码实现(递归)
二叉查找树完全代码:
3.1 )根据查找树的性质,我们存放的值必定是可以比较的,所以我们选择 Comparable 作为eo对象的比较。
3.2)contains方法:是否含有x
如果存在节点的值为X,则返回true,否则返回false。
3.3)findMin和findMax方法:
二叉查找树的所有节点都有其顺序,这两个方法可以方便的找出最大最小值。
3.4)insert方法:插入x
插入操作:按照顺序查找,如果找到x,则直接返回树,否则在合适的地方插入x。
3.5)remove方法:移除x
删除操作:如果x是叶子节点,则直接删除,返回树,如果x含有左子树或者右子树,或者含有左右子树,则要做适当的调整树结构。
package chapterFour; import java.nio.BufferUnderflowException; /** * 二叉查找树: * 左子树的所有项的值均小于根节点,右子树的所有项的值均大于根节点。 */ public class BinarySearchTree<T extends Comparable<? super T>> { /** * 节点类 * * @param <T> */ private static class BinaryNode<T> { private T element; private BinaryNode<T> left; private BinaryNode<T> right; BinaryNode(T t) { this(t, null, null); } public BinaryNode(T t, BinaryNode<T> lt, BinaryNode<T> rt) { element = t; left = lt; right = rt; } } // 根节点 private BinaryNode<T> root; /** * 构造函数 */ public BinarySearchTree() { root = null; } /** * 清空整颗树 */ public void makeEmpty() { root = null; } /** * 判断树是否为空:只需要判断根节点是否为空即可。 * * @return */ public Boolean isEmpty() { return root == null; } /** * 是否含有节点x,含有则返回true,没有则返回fales * * @param x * @return */ public boolean contains(T x) { return contains(x, root); } /** * 寻找最小值 * * @return */ public T findMin() { if (isEmpty()) { throw new BufferUnderflowException(); } return findMin(root).element; } /** * 寻找最小值 * * @return */ public T findMax() { if (isEmpty()) { throw new BufferUnderflowException(); } return findMax(root).element; } /** * 插入 * * @param t */ public void insert(T t) { root = insert(t, root); } /** * 删除 * * @param t */ public void remove(T t) { root = remove(t, root); } /** * 打印全部 */ public void printTree() { if (isEmpty()) { System.out.println("Empty tree"); } else { printTree(root); } } /** * 删除方法: * 删除一个节点,如果是叶子节点,那么直接删除就好了,但是如果是某个父节点,那么需要重组部分树节点。 * * @param t * @param root * @return */ private BinaryNode<T> remove(T t, BinaryNode<T> root) { if (root == null) { return root; } int compareResult = t.compareTo(root.element); if (compareResult < 0) { root.left = remove(t, root.left); } else if (compareResult > 0) { root.right = remove(t, root.right); } else if (root.left != null && root.right != null) { root.element = findMin(root.right).element; root.right = remove(root.element, root.right); } else { root = (root.left != null) ? root.left : root.right; } return root; } /** * 查找树的插入,其实很简单,就一直的递归,然后插入就好了。 * * @param t * @param root * @return */ private BinaryNode<T> insert(T t, BinaryNode<T> root) { // 如果树不存在就创建一棵树 if (root == null) { return new BinaryNode<>(t, null, null); } int compareResult = t.compareTo(root.element); // 如果比root小,就插入到root的左边 if (compareResult < 0) { root.left = insert(t, root.left); } // 如果比root大,就插入到root的右边 if (compareResult > 0) { root.right = insert(t, root.right); } // 最后返回树 return root; } /** * 寻找最大值(方法一,用循环代替递归) * 我们不使用递归,加判断的递归,可以用while循环 * * @param root * @return */ private BinaryNode<T> findMax(BinaryNode<T> root) { if (root == null) { return null; } while (root.right != null) { root = root.right; } return root; } /** * 寻找最小值(方法二,直接使用递归) * 我们用递归的方法,遍历所有的左子树,直到最后。 * * @param root * @return */ private BinaryNode<T> findMin(BinaryNode<T> root) { if (root == null) { return null; } if (root.left == null) { return root; } else { return findMin(root.left); } } /** * 如果T是空集,那么可以就返回false。否则,存在T处的项是X,那么就可以返回ture,否则对树对左子树或右子树进行一次递归。 * * @param x * @param root * @return */ private boolean contains(T x, BinaryNode<T> root) { if (root == null) { return false; } // 判断x是在左子树还是右子树 int compareResult = x.compareTo(root.element); if (compareResult < 0) { return contains(x, root.left); } else { return contains(x, root.right); } } /** * 按照顺序打印二叉树:中序遍历 * * @param tb */ private void printTree(BinaryNode<T> tb) { if (tb != null) { printTree(tb.left); System.out.println(tb.element); printTree(tb.right); } } }
原文地址:https://www.cnblogs.com/dhcao/p/10428502.html
时间: 2024-10-11 14:51:24