\chapter{数论}
\begin{example}
(1995年初联)试证:每个大于$6$的自然数$n$, 都可以表示为两个大于$1$且互质的自然数之和.
\end{example}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item 当$n$是奇数,则$n=2+(n-2)$且$n-2$是大于$1$的奇数, $n-2$与$2$互质;
\item 若$n$是偶数,
\begin{enumerate}
\item 若$\frac{n}{2}$是偶数,则$n=\left(\frac{n}{2}-1\right)+\left(\frac{n}{2}+1\right)$且$\frac{n} {2}-1$与$\frac{n} {2}+1$是两个大于$1$的连续奇数,可见它们互质;
\item 若$\frac{n}{2}$是奇数,则$n=\left(\frac{n}{2}-2\right)+\left(\frac{n}{2}+2\right)$,而$\frac{n} {2}-2$与$\frac{n} {2}+2$都是大于$1$的奇数,而它们的最大公约数等于$\frac{n} {2}-2$与$4$的最大公约数,故它们互质,由此命题证毕.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
直观上可以这样看,当$n>6$时,在$2,3,\cdots,n-2$中,必有一个数$A$与$n$互质$(2\leq A\leq n-2)$,记$B=n-A\geq 2$,有$n=A+B$.
此时, $A$与$B$必互质,否则$A$与$B$有公约数$d>1$,则$d$也是$n$的约数,从而$A$与$n$有大于$1$的公约数,与$A$、$n$互质矛盾.
\end{solution}
\begin{example}
(1997年初联)若正整数$x,y$满足$x^2+y^2=1997$,则$x+y$等于?
\end{example}
\begin{solution}
不妨设$x$为奇数, $y$为偶数,因为$x^2+y^2$的个位数字是$7$,因此$x^2,y^2$的个位数字必是$1,6$.所以$x$的个位数字为$1$或$9$, $y$的个位数字必是$4$或$6$.
又$1997\equiv 1\,(\bmod 4)$,则$x\equiv 1\,(\bmod 4),y\equiv 0\,(\bmod 4)$.由$x^2<1997$知$x<45$,因此$x$可能值为$1$、$9$、$21$、$29$、$41$.
经检验,仅当$x=29$时,有$y=34$,使$29^2+34^2=1997$,所以$x+y=29+34=63$.
\end{solution}
(2014年全国高中数学联赛江苏寒区复赛试题)已知$a$、$b$、$c$、$d$均为整数,且$p=a^2+b^2$为素数,若$p\mid (c^2+d^2)$,证明: $\frac{c^2+d^2}{p}$可以表示为两个整数的平方和.
2017届全国高中数学联赛江苏复赛试题,最后一道函数题
2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛, 14, 15题
\begin{example}
\end{example}
\begin{solution}
\end{solution}
\begin{example}
试确定$2019$能否表示为两个整数的立方和.如果能,请写出一种表示;如果不能,请说明理由.
\end{example}
\begin{solution}
假设$A,B$为整数, $A^3+B^3=(A+B)(A^2+B^2-AB)=2019$, $A+B$是整数, $A^2+B^2-AB$是正整数.
将$2019$拆成两个正整数乘积,求解二元二次方程组:
\[2019=1\times 2019=2019\times 1=3\times 673=673\times 3=\cdots\]
\end{solution}
能用两种不同方法表示成两个立方数之和的最小正整数是
\[1729=1+12^3=9^3+10^3.\]
能用两种不同方法表示成两个四次方数之和的最小正整数是
\[635318657= 59^4+158^4=133^4+134^4.\]
数论中我们只考虑整数问题,两个整数的加减乘法运算都是得到整数,为了让除法也能得到整数,例如$\frac{8}{2}=4$,从而保证运算在整数中封闭.我们引入整除定义.
\begin{definition}{}{dy1}
对于整数$a,b$且$b\neq 0$,若存在整数$q$使得$a=bq$,则称\textbf{$b$整除$a$}或\textbf{$a$可被$b$整除},记作$b\mid a$.此时,我们把$b$叫作$a$的\textbf{因数}或\textbf{约数},把$a$叫作$b$的\textbf{倍数}.
\end{definition}
\begin{theorem}{传递性}{sl1}
若$a\mid b,b\mid c$,则$a\mid c$.
\end{theorem}
\begin{theorem}{带余数除法}{sl2}
若$a,b$均为整数且$b>0$,则存在两整数$q$和$r$,使得\[a=qb+r,\qquad 0\leq r<b\]成立,且$q$和$r$是唯一的.
\end{theorem}
此时称$q$为$a$被$b$除所得的\textbf{不完全商}, $r$叫作$a$被$b$除所得到的\textbf{余数}.
\begin{example}
\[20=4\times 5+0,\quad 17=3\times 5+2,\quad -13=-3\times 5+2.\]
\end{example}
\begin{definition}{}{dy2}
设$a_1,a_2,\cdots,a_n$是$n(n\geq 2)$个整数,若整数$d$是它们之中每个数的因数,则称$d$是$a_1,a_2,\cdots,a_n$的一个\textbf{公因数}.
\end{definition}
整数$a_1,a_2,\cdots,a_n$的公因数中最大的一个叫作\textbf{最大公因数},记作$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$.若$(a_1,a_2,\cdots,a_n)=1$,则称$a_1,a_2,\cdots,a_n$\textbf{互质}或\textbf{互素},若$a_1,a_2,\cdots,a_n$中每两个整数互质,则称它们\textbf{两两互质}.
\begin{example}
$12,16$和$28$具有公约数$2$,最大公约数为$4$; $2,4$和$7$互质,$2,15$和$7$两两互质.
\end{example}
\begin{theorem}{带余数除法}{sl3}
若$a,b,c$是任意三个不全为$0$的整数,且
\[a=qb+c,\]
其中整数$q\neq 0$,则$a,b$与$b,c$具有相同的公因数,因而$(a,b)=(b,c)$.
\end{theorem}
\begin{definition}{}{}
\end{definition}
\begin{enumerate}
\item 初等数论,第三版,闵嗣鹤,严士健, 2007年
\item 初等数论,冯志刚,数学奥林匹克命题人讲座,2015年
\item 奥林匹克数学中的数论问题,沈文选,张垚,冷岗松,唐立华,湖南师大出版社, 2009年
\item 哈代数论,第6版,人民邮电出版社, 2010年
\item 华罗庚文集:数论卷2 (数论导引), 2010年
\item 数论基础,潘承洞,高等教育出版社, 2012年
\item 初等数论,潘承洞,北京大学出版社, 2003年
\item 数论概论,希尔弗曼,机械工业出版社, 2008年
\end{enumerate}
\begin{example}
求满足下列条件的最大正整数$n$,使得对这样的$n$,有唯一的正整数$k$,满足
\[\frac{2021}{4041}<\frac{n}{n+k}<\frac{2020}{4039}.\]
\end{example}
(1987年AIME) What is the largest positive integer $n$ for which there is a unique integer $k$ such that $\frac{8}{15} < \frac{n}{n + k} < \frac{7}{13}$?
Multiplying out all of the denominators, we get:
\begin{align*}104(n+k) &< 195n< 105(n+k)\\ 0 &< 91n - 104k < n + k\end{align*}
Since $91n - 104k < n + k$, $k > \frac{6}{7}n$. Also, $0 < 91n - 104k$, so $k < \frac{7n}{8}$. Thus, $48n < 56k < 49n$. $k$ is unique if it is within a maximum range of $112$, so $n = 112$.
\begin{solution}
\end{solution}
原文地址：https://www.cnblogs.com/Eufisky/p/11692587.html