浅谈Miller-Rabin素数检测
对于素数判断的操作，我们通常使用的是时间复杂度为\(O(\sqrt N)\)的试除法。按理说这种复杂度已经是较优秀的了，但是假如给定的需要判断的数极其之大，并且给定的时限不够以\(O(\sqrt N)\)的试除法来判断，该怎么办？
题出错了
想得美。
于是，今天的主角出场了：Miller-Rabin素数检测。
Miller-Rabin素数检测算法用于在短时间内判断出一个数是否是质数，时间复杂度比试除法优秀，应该是\(O(T\times \log N)\)级别的（T为检测轮数）。
Miller-Rabin算法的实现原理
其实，试除法是目前能实现的百分百正确率判断质数的最快方法。Miller-Rabin之所以能够比它更快，是在牺牲了正确率的基础上。（汗）但是千万不要质疑这个算法的正确性。这种有一定容错率的算法统称为概率型算法，它们的特点就是不保对，但是用起来的确非常的爽。并且，它们的容错率也非常低，可以用多次检测来弥补。
经过理论证明，Miller-Rabin的错误率是\(4^{-T}\)，T是检测轮数，一般来讲，当\(T\)达到50左右时，就可以将错误率降到非常低的程度。甚至，比计算机本身出错的概率还要低。
那么，在了解了Miller-Rabin的随机性之后，我们接下来要学习它的实现原理。
Miller-Rabin的实现原理利用了费马小定理。费马小定理的内容是：
\[
a^{p-1}\equiv 1\,\,\,\,(mod\,\,p)
\]
（\(p\)为质数）
如果想详细了解费马小定理，敬请参考百度百科。
那么，这个费马小定理就可以作为素数性的一个判断依据。往简单说，就是针对一个大整数，如果\(a^{p-1}\%p=1\)，那么这个数有很大可能是质数。反之，那么这个数一定不是质数。
好啦！那就拿\(a^{p-1}\%p\)，快速幂取模一下看一看就得了！
这当然是错的。首先，这种方式的错误率很高，你需要反复地用不同的a检测很多次，时间复杂度噌噌上，最后还有可能依然是错误答案。所以我们应该在费吗小定理的基础上再加一个约束条件，使得算法能够稳定、有序的输出正确解。
介绍下一个理论依据：二次探测定理。
二次探测定理的内容是：
如果一个数\(p\)是质数，对于一个\(x\in (0,p)\)且\(x\in Z\)，方程\(x^2 \equiv 1\,\,\,\,(mod\,\,p)\)的解有且只有两个：\(x=1\)或\(x=p-1\)。
那么，在快速幂累乘的基础上，反复判断现在的\(p\)是否符合二次探测定理，就大大增加了其正确性。
具体的实现方式是：
如果一个数\(p\)是质数，那么\(p-1\)一定会是个偶数（你不要拿2来刚我），那么，对于这个指数\(p-1\)，我们可以将其分解成\(m\times 2^k\)的形式，其中\(m\)为奇数。那么根据快速幂的原理，我们就会依次对以下数列进行二次探测定理的检测：
\[
m,2m,4m\cdots m\times 2^{k-1},m\times 2^k
\]
如果这些都合法，最后用费马小定理判断一下是否合法即可。
Miller-Rabin算法的模板
bool Miller_check(int a,int n)
{
int ret=1;
int b=n-1;
while(b)
{
if(b&1)
ret=(ret*a)%n;
int x=a;//采用临时变量保存改变前的a
a=(a*a)%n;
if(a==1 && x!=1 && x!=n-1)//当a为1的时候，方程成立，开始判断解。
return 0;//不是素数
b>>=1;
}
return (ret==1)?1:0;
}
bool Miller_Rabin(int n,int t)
{
if(n==2)
return 1;
if(n<2 || !(n&1))
return 0;
while(t--)
{
srand(time(NULL));
int a=rand();//a要随机数
if(!Miller_check(a,n))
return 0;
}
return 1;
}要注意的是，因为我们普遍用Miller-Rabin检测大数，所以在实际应用的时候往往要开long long。代码为了美观简化就删去了这个步骤，请应用的时候一定要加上。
Miller-Rabin算法大体就是这样！谢谢大家的观看！！
原文地址：https://www.cnblogs.com/fusiwei/p/12222848.html