Miller-Rabin大素数测试模板

根据费马小定理:

对于素数n，a(0<a<n),a^(n-1)=1(mod n)

如果对于一个<n的正整数a，a^(n-1)!=1(mod n),则n必不是素数。

然后就可以随机生成  <n的数，如果都满足，那n就极有可能是素数。

看书上说，一次素数测试的成功率是 3/4,也就是失败率是1/4，那测m次是错误的概率为：(1/4)^m.可见m稍微大一点就基本不会出错。

但是还有一种数叫，卡迈克尔数。

卡迈克尔数： 一个合数n，对所有满足 gcd(b,n)=1的正整数b都有b^(n-1)=1(mod n) 成立。

因为这种数的存在，在检测这些数是否是素数时可能正确率就会降低很多。

这是我们可以采用二次探测：

如果p是一个素数，且 0<x<p , 则方程x^2=1(mod p) 的解为x=1或x=p-1

换句话说，如果发现x^2=1(mod p) 成立且x!=1&&x!=p-1,则p不为素数。

对照着卡迈克尔数，我们可以发现卡迈克尔数是有很大可能无法通过二次探测的。 因为对于某个数为b, 如果gcd(b,n)=1且b^(n-1)=1(mod n)成立，如果b^( (n-1)/2 )不为1和n-1则n不为素数。

在比赛中，基本可以看做是 O(1)的素数检测。 但是因为要一定次数随机，速度问题也是要考虑的。

//输入一个long long 范围内的素数，是素数返回true，否则返回false。定义检测次数TIMES,错误率为(1/4)^TIMES#define TIMES 10

long long GetRandom(long long n)
{
    //cout<<RAND_MAX<<endl;
    long long num = (((unsigned long long)rand() + 100000007)*rand())%n;
    return num+1;
}

long long Mod_Mul(long long a,long long b,long long mod)
{
    long long msum=0;
    while(b)
    {
        if(b&1) msum = (msum+a)%mod;
        b>>=1;
        a = (a+a)%mod;
    }
    return msum;
}

long long Quk_Mul(long long a,long long b,long long mod)
{
    long long qsum=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) qsum=Mod_Mul(qsum,a,mod);
        b>>=1;
        a=Mod_Mul(a,a,mod);
    }
    return qsum;
}

bool Miller_Rabin(long long n)
{
    if(n==2||n==3||n==5||n==7||n==11) return true;
    if(n==1||n%2==0||n%3==0||n%5==0||n%7==0||n%11==0) return false;
    int div2=0;
    long long tn=n-1;
    while( !(tn%2) )
    {
        div2++;
        tn/=2;
    }
    for(int tt=0;tt<TIMES;tt++)
    {
        long long x=GetRandom(n-1); //随机得到[1,n-1]
        if(x==1) continue;
        x=Quk_Mul(x,tn,n);
        long long pre=x;
        for(int j=0;j<div2;j++)
        {
            x = Mod_Mul(x, x, n);
            if(x==1&&pre!=1&&pre!=n-1) return false;
            pre=x;
        }
        if(x!=1) return false;
    }
    return true;
}