NYOJ15括号匹配

括号匹配（二）

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难度：6

描述

给你一个字符串，里面只包含"(",")","[","]"四种符号，请问你需要至少添加多少个括号才能使这些括号匹配起来。
如：
[]是匹配的
([])[]是匹配的
((]是不匹配的
([)]是不匹配的

输入

第一行输入一个正整数N，表示测试数据组数(N<=10)
每组测试数据都只有一行，是一个字符串S，S中只包含以上所说的四种字符，S的长度不超过100

输出

对于每组测试数据都输出一个正整数，表示最少需要添加的括号的数量。每组测试输出占一行

样例输入

4
[]
([])[]
((]
([)]

样例输出

0
0
3
2

来源

《算法艺术与信息学竞赛》

分析

二维数组dp[i][j] 表示字符串s的第i..j字符需要最少括号数，下面是具体的表示：

当i= j的时候，只有一个字符，那么，只要匹配一个字符就行了，所以，dp[i][i] = 1

如果，当i < j的时候，s[i] = s[j]  那么，dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i+1][j+1])，其中，假设i <= k < j 状态转移方程为 dp[i][j] = min(dp[i][j],d[i][k] + dp[k+1][j])

换个角度，换个方向

分析：我们求出这个串的最大匹配，然后串的总长度-最大匹配就是答案。

方法1:首先能想到的是转化成LCS（最长公共子序列），枚举中间点，求所有的LCS中的最大值 * 2就是最大匹配。但是复杂度较高，光LCS一次就O(n^2)的复杂度。

方法2：

首先考虑怎么样定义dp让它满足具有通过子结构来求解、

定义dp [ i ] [ j ] 为串中第 i 个到第 j 个括号的最大匹配数目

那么我们假如知道了 i 到 j 区间的最大匹配，那么i+1到 j+1区间的是不是就可以很简单的得到。

那么 假如第 i 个和第 j 个是一对匹配的括号那么dp [ i ] [ j ] = dp [ i+1 ] [ j-1 ] + 2 ;

那么我们只需要从小到大枚举所有 i 和 j 中间的括号数目，然后满足匹配就用上面式子dp，然后每次更新dp [ i ] [ j ]为最大值即可。

更新最大值的方法是枚举 i 和 j 的中间值，然后让 dp[ i ] [ j ] = max ( dp [ i ] [ j ] , dp [ i ] [ f ] + dp [ f+1 ] [ j ] ) ;

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3
 4 #define min(x,y) (x < y ? x : y)
 5 #define MAX 101
 6
 7 int dp[MAX][MAX];
 8
 9 bool cmp(int n,int m)
10 {
11     if((n == ‘(‘&&m == ‘)‘)||(n == ‘[‘&&m == ‘]‘))
12     return 1;
13     else
14     return 0;
15 }
16
17 int main(void)
18 {
19     int n,m,i,j,k;
20     char str[101];
21     scanf("%d",&n);
22     while(n--)
23     {
24         scanf("%s",str);
25         int length = strlen(str);
26         memset(dp,0,sizeof(dp));
27         for(i = 0; i < length; i++)
28         {
29             dp[i][i] = 1;
30         }
31         //区间dp常用dp套路
32         for(m = 1; m < length; m++)//枚举的串长度
33         {
34             for(i = 0; i < length - m; i++)//起点
35             {
36                 j = i + m;//终点
37                 dp[i][j] = MAX; //初始值
38                 if(cmp(str[i],str[j]))
39                 dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i+1][j-1]);//消去匹配的括号
40                 //枚举中间点
41                 for(k = i; k < j; k++)
42                 {
43                    dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);
44                 }
45             }
46         }
47         printf("%d\n",dp[0][length-1]);
48     }
49     return 0;
50 }