两道有意思的题目

碰到两道有意思的题目，记录一下。

题目一：

问，对于任意一个正整数，是否存在一个它的倍数全是由1和0组成？

例如：

1 * 1 = 1

2 * 5 = 10  （2的5倍是10,10由1和0组成）

3 * 37 = 111 （3 的 37 倍是111,111 全部由1组成）

4 * 25 = 100 （4 的 25 倍是100,100 由1和0组成）

5 * 20 = 100 （5 的 20 倍是100,100由1 和 0 组成）

……

现在需要判断，随便给一个正整数，是否存在一个它的倍数满足题意？

答案是肯定的，对于任意一个正整数，都存在一个它的倍数，全部由1 和 0 组成。

证明方法需要用到鸽笼原理。

证明如下：

对于任意正整数 n 来说，有如下的数：

1,11,111,1111,……，1……1（最后一个数共有n个1）

这 n 个数分别对n取余，余数的范围在 0 ~n-1 之间。若余数中有0，则可以找到一个全由1组成的倍数；若余数中没有0，则 n 个余数中必然有两个是相等的（鸽笼原理）。

假设   x / n = a ...b

y / n = c ...b

则 (y - x) / n = (a - c)

因为 x、y 均是全由1组成，所以它们的差肯定是由 0 和 1组成，最后得证。

题目二：

图形化证明： 1 + 3 + 5 + ... + (2 * n - 1) = n^2

注意是图形化证明，不能用公式。

如下：