4819: [Sdoi2017]新生舞会
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Description
学校组织了一次新生舞会，Cathy作为经验丰富的老学姐，负责为同学们安排舞伴。有n个男生和n个女生参加舞会
买一个男生和一个女生一起跳舞，互为舞伴。Cathy收集了这些同学之间的关系，比如两个人之前认识没计算得出
a[i][j] ，表示第i个男生和第j个女生一起跳舞时他们的喜悦程度。Cathy还需要考虑两个人一起跳舞是否方便，
比如身高体重差别会不会太大，计算得出 b[i][j]，表示第i个男生和第j个女生一起跳舞时的不协调程度。当然，
还需要考虑很多其他问题。Cathy想先用一个程序通过a[i][j]和b[i][j]求出一种方案，再手动对方案进行微调。C
athy找到你，希望你帮她写那个程序。一个方案中有n对舞伴，假设没对舞伴的喜悦程度分别是a‘1,a‘2,...,a‘n，
假设每对舞伴的不协调程度分别是b‘1,b‘2,...,b‘n。令
C=(a‘1+a‘2+...+a‘n)/(b‘1+b‘2+...+b‘n),Cathy希望C值最大。
Input
第一行一个整数n。
接下来n行，每行n个整数，第i行第j个数表示a[i][j]。
接下来n行，每行n个整数，第i行第j个数表示b[i][j]。
1<=n<=100,1<=a[i][j],b[i][j]<=10^4
Output
一行一个数，表示C的最大值。四舍五入保留6位小数，选手输出的小数需要与标准输出相等
Sample Input
3
19 17 16
25 24 23
35 36 31
9 5 6
3 4 2
7 8 9
Sample Output
5.357143
题解
分数规划 + 网络流
二分C值，设当前C值为C‘, 每对人对答案的贡献为\( a - b * C ^ ‘ \)，费用流使贡献总和最大，为正则说明C‘可行。
使用迭代会使效率更高，每次费用流都是在找一个尽量更优或可行的答案，所以我们把费用流跑出的方案记录下来，作为下一次的C‘值。
每次迭代结束比较上一次的C‘与现在跑出来的C‘‘，差的绝对值小于eps则找到最优解，C‘的初始值任意。
代码
/* Stay hungry, stay foolish. */
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<string>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<sstream>
#include<stack>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<climits>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<bitset>
#include<complex>
using namespace std;
/*
#define getchar() getc()
char buf[1<<15],*fs,*ft;
inline char getc() {return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin)),fs==ft)?0:*fs++;}
*/
template <class _T> inline void read(_T &_x) {
int _t; bool _flag=false;
while((_t=getchar())!=‘-‘&&(_t<‘0‘||_t>‘9‘)) ;
if(_t==‘-‘) _flag=true,_t=getchar(); _x=_t-‘0‘;
while((_t=getchar())>=‘0‘&&_t<=‘9‘) _x=_x*10+_t-‘0‘;
if(_flag) _x=-_x;
}
typedef long long LL;
const int maxn = 500;
const int maxm = 100000;
const double eps = 1e-7;
struct Edge {
int v, from, nxt, flow; double cost;
Edge() {}
Edge(int a, int b, int c, double d): v(a), nxt(b), flow(c), cost(d) {}
}e[maxm];
int fir[maxn], ecnt, pre[maxn], preu[maxn];
double dis[maxn]; bool vis[maxn];
inline void addedge(int a, int b, int c, double d) {
e[++ecnt] = Edge(b, fir[a], c, d), fir[a] = ecnt;
e[++ecnt] = Edge(a, fir[b], 0, -d), fir[b] = ecnt;
}
int n, sink, a[maxn][maxn], b[maxn][maxn];
inline bool spfa() {
memset(dis, 0xfe, sizeof (double) * (sink + 1));
memset(vis, false, sizeof (bool) * (sink + 1));
double DMIN = dis[0];
queue<int> q; dis[0] = 0, q.push(0);
while (!q.empty()) {
int now = q.front(); q.pop(); vis[now] = false;
for (int u = fir[now]; u; u = e[u].nxt) if (e[u].flow) {
if (dis[e[u].v] < dis[now] + e[u].cost) {
dis[e[u].v] = dis[now] + e[u].cost;
pre[e[u].v] = now, preu[e[u].v] = u;
if (!vis[e[u].v]) {
vis[e[u].v] = true;
q.push(e[u].v);
}
}
}
}
return dis[sink] != DMIN;
}
double augment() {
int now = sink;
while (now != 0) {
e[preu[now]].flow -= 1;
e[preu[now] ^ 1].flow += 1;
now = pre[now];
}
return dis[sink];
}
double mcmf() {
double ret = 0;
while (spfa()) {
ret += augment();
}
return ret;
}
double Run(double ans) {
ecnt = 1;
memset(fir, 0, sizeof (int) * (sink + 1));
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = 1; j <= n; ++j) {
addedge(i, j + n, 1, a[i][j] - ans * b[i][j]);
}
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) addedge(0, i, 1, 0);
for (int i = 1; i <= n; ++i) addedge(n + i, sink, 1, 0);
mcmf();
int ansa = 0, ansb = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int u = fir[i]; u; u = e[u].nxt) {
if (e[u].flow == 0 && e[u].v > n && e[u].v < sink) {
ansa += a[i][e[u].v - n], ansb += b[i][e[u].v - n];
}
}
}
return (double)ansa / ansb;
}
int main() {
//freopen(".in","r",stdin);
//freopen(".out","w",stdout);
read(n); sink = n + n + 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) for (int j = 1; j <= n; ++j)
read(a[i][j]);
for (int i = 1; i <= n; ++i) for (int j = 1; j <= n; ++j)
read(b[i][j]);
double prev, ans = 0;
do {
prev = ans, ans = Run(ans);
} while (fabs(ans - prev) > eps);
printf("%.6lf", ans);
return 0;
}