51nod 1537 分解(矩阵快速幂)

分析:先写出前几项,发现都是有解的.记(1+√2)^n=a+b√2,可以归纳证明,当n为奇数时,m=a^2+1,n为偶数时,m=a^2.写出a的递推式,用矩阵快速幂算一下a即可.

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 using namespace std;
 5 const int p=1e9+7;
 6 typedef unsigned long long ull;
 7 ull mat[2][2]={2,1,1,0};
 8 void Copy(ull a[2][2],ull b[2][2]){
 9     for(int i=0;i<2;i++)
10         for(int j=0;j<2;j++)a[i][j]=b[i][j];
11 }
12 void multiple(ull result[2][2],ull a0[2][2],ull b0[2][2]){
13     ull a[2][2],b[2][2];
14     Copy(a,a0);Copy(b,b0);
15     for(int i=0;i<2;i++){
16         for(int j=0;j<2;j++){
17             result[i][j]=0;
18             for(int k=0;k<2;k++)
19                 result[i][j]=(result[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%p;
20         }
21     }
22 }
23 void qpow(ull t,ull ans[2][2]){
24     ull y[2][2];
25     Copy(y,mat);
26     ans[0][0]=ans[1][1]=1;
27     ans[0][1]=ans[1][0]=0;
28     ull k=1;
29     while(k){
30         if(k&t){
31             multiple(ans,ans,y);
32         }
33         multiple(y,y,y);
34         k<<=1;
35     }
36 }
37 int main(){
38     ull n;
39     cin>>n;
40     if(n==0)cout<<1<<endl;
41     else if(n==1)cout<<2<<endl;
42     else{
43         ull a[2][2];
44         qpow(n-1,a);
45         ull t=((a[0][0]+a[1][0])*(a[0][0]+a[1][0]))%p;
46         if(n%2)cout<<t+1<<endl;
47         else cout<<t<<endl;
48     }
49     return 0;
50 }