1019: [SHOI2008]汉诺塔
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Description
汉诺塔由三根柱子(分别用A B C表示)和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上,大的在下面,小的在上面,形成了一个塔状的锥形体。
对汉诺塔的一次合法的操作是指:从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层,同时要保证被移动的盘子一定放在比它更大的盘子上面(如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求)。我们可以用两个字母来描述一次操作:第一个字母代表起始柱子,第二个字母代表目标柱子。例如,AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮助我们完成这个游戏。首先,在任何操作执行之前,我们以任意的次序为六种操作(AB、AC、BA、BC、CA和CB)赋予不同的优先级,然后,我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子,直到所有的盘子都从柱子A移动到另一根柱子:(1)这种操作是所有合法操作中优先级最高的;(2)这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移动的那个盘子。可以证明,上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级,计算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。
Input
输入有两行。第一行为一个整数n(1≤n≤30),代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符,代表六种操作的优先级,靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。
Output
只需输出一个数,这个数表示移动的次数。我们保证答案不会超过10的18次方。
Sample Input
3
AB BC CA BA CB AC
Sample Output
7
一开始竟然写了个dfs交上去。。答案不超过10^18啊!!
因为转移的优先顺序,所以到达每一个目标的转移过程是一定的。
考虑dp方程:
f[x][i]表示第x个柱子上有i个盘子,把他们都移动到g[x][i]这个柱子上要花得步数。
首先考虑i=1,因为操作有优先顺序,因此g[x][1]可以确定,f[x][1]都是1。
接下来考虑任意的i,那么我们需要把i-1个移动到g[x][i-1]上面去,再把剩下的一个移动到(1+2+3-x-g[x][i-1])上。
现在原来在x上的i个处在的两个柱子上,其中一个放了1个盘子,另一个放了i-1个盘子。
设g[x][i-1]=y,即i-1个盘子所在的柱子是y;1+2+3-x-g[x][i-1]=k,即一个盘所在的柱子是k。
分两种情况讨论:
(1)若g[y][i-1]=k,那么把这i-1个直接移到k上转移就完成了。
g[x][i]=k f[x][i]=f[x][i-1]+1+f[y][i-1]
(2)若g[y][i-1]=x,这种情况要麻烦一些:
把i-1个从y移动到x上,再把1个从k移动到y上,最后把i-1个从x上移动到y上。
g[x][i]=y f[x][i]=f[x][i-1]+1+f[y][i-1]+1+f[x][i-1]
#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstdio> #include <cstring> #include <string> #include <cstdlib> #define LL long long using namespace std; int v[5],n,g[5][50]; LL f[5][50]; int main() { scanf("%d",&n); for (int i=1;i<=6;i++) { char s[5]; scanf("%s",s); int from=s[0]-'A'+1,to=s[1]-'A'+1; if (v[from]) continue; v[from]=1; g[from][1]=to,f[from][1]=1; } for (int i=2;i<=n;i++) for (int j=1;j<=3;j++) { int y=g[j][i-1]; int z=6-y-j; f[j][i]=f[j][i-1]+1; if (z==g[y][i-1]) { f[j][i]+=f[y][i-1]; g[j][i]=z; } else { f[j][i]+=f[y][i-1]+1+f[j][i-1]; g[j][i]=y; } } cout<<f[1][n]<<endl; return 0; }
感悟:
1.一开始RE是我交的dfs爆栈了。。
2.这道题关键在于对于操作的优先顺序只和i=1时有关。确定了i=1,i=其他数就都可以递推出来了!