九章算法面试题29 子矩阵的最大公约数

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题目

给定n*n的矩阵，需要查询任意子矩阵中所有数字的最大公约数。请给出一种设计思路，对矩阵进行预处理，加速查询。额外的空间复杂度要求O(n^2)以内。

解答

构建二维线段树。预处理时间O(n^2)，每次查询O(log n)

面试官角度

这个题目需要具备一定的数据结构功底。线段树(Interval Tree)可以解决的问题是那些满足结合律的运算。最大公约数是一个满足结合律的运算。所以有，GCD(A,B,C,D) = GCD(GCD(A,B), GCD(C, D)) 。同样具备结合律的运算有PI,SUM,XOR(积,和,异或)。线段树的基本思想是，将区间[1,n]查分为[1,
n/2], [n/2+1,n]这两个子区间，然后每个子区间继续做二分，直到区间长度为1。在每个区间上维护这个区间的运算结果（如GCD,SUM)，需要查询某一段区间的结果时，将该区间映射到线段树上的若干不相交的区间，将这些区间的结果合并起来则得到了答案。可以证明任何一个区间可以映射到线段树上不超过O(log n)个区间。上面介绍的是一维的线段树，对于二维的情况，可以采用四分或者横纵剖分的方法来构建线段树。