[家里蹲大学数学杂志]第030期复旦大学2010年实分析竞赛试题参考解答

1设 f

是实直线 R

上的实函数, 若有常数 M>0

使得对任何有限个两两不同的实数 x1,?,xn

都有 ∣∣∑ni=1f(xi)∣∣≤M

. 证明: {x; f(x)≠0}

是至多可数的.

解答: 首先说明对 ? n∈N

, An={x; f(x)>1/n}

是有限集 (个数不超过 n([M]+1)

). 若不然,

∑x∈Anf(x)>1n∑n∈An1>1n?n([M]+1)>M,

这是一个矛盾. 其次, 同上论述, Bn={x; f(x)<?1/n}

也是有限集. 于是

{x; f(x)≠0}=∪∞n=1(An∪Bn)

是至多可数的.

2设E

是实直线 R

上的 Lebesgue

可测集, 且 m(E)<∞

. 证明:

limn→∞∫Eeinxdx=0.

这里 m

表示 Lebesgue

测度.

解答: 由 m(E)<∞

知 χE∈L1(R)

, 而所证即为标准的 Riemann?Lebesgue

引理.

3设 f

是 [0,1]

上实的 Lebesgue

可测函数, 并且 Z

是整数集. 证明:

limn→∞∫10|cosf(x)|ndx=m(f?1(πZ)).

证明: 注意到 |cosf(x)|n≤1

及

|cosf(x)|n→a.e.χf?1(πZ),

我们由 Lebesgue

控制收敛定理得到结论.

4对 σ

-有限的测度空间 (X,Σ,μ)

, 设 f

是 X

上的非负可测函数, 记

μ(f>t)=μ{x; f(x)>t}.

证明:

∫Xfdμ=∫∞0μ(f>t)dt.

证明: 由 Fubini

定理,

∫Xfdμ=∫X∫f0dtdμ=∫∞0∫Xχf>tdμdt=∫∞0μ(f>t)dt.

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