http://antkillerfarm.github.io/

向量的范数（续）

范数可用符号∥x∥λ表示。常用的有：

∥x∥1=|x1|+?+|xn|

∥x∥2=x21+?+x2n???????????√

∥x∥∞=max(|x1|,…,|xn|)

这里不做解释的给出如下示意图：

其中，0范数表示向量中非0元素的个数。上图中的图形被称为lp ball。表征在同一范数条件下，具有相同距离的点的集合。

范数满足如下不等式：

∥A+B∥≤∥A∥+∥B∥(三角不等式)

向量范数推广可得到矩阵范数。某些矩阵范数满足如下公式：

∥A?B∥≤∥A∥?∥B∥

这种范数被称为相容范数。

注：矩阵范数要比向量范数复杂的多，还包含一些不可以由向量范数来诱导的范数，如Frobenius范数。而且只有极少数矩阵范数，可由简单表达式来表达。这里篇幅有限，不再赘述。

病态矩阵

现在有线性系统Ax=b：

[400?800?201201][x1x2]=[200?200]

很容易得到解为：

x1=?100,x2=?200

。如果在样本采集时存在一个微小的误差，比如，将 A矩阵的系数400改变成401：

[401?800?201201][x1x2]=[200?200]

则得到一个截然不同的解：x1=40000,x2=79800。

当解集x对A和b的系数高度敏感，那么这样的方程组就是病态的 (ill-conditioned/ill-posed)。

从上例的情况来看，矩阵的行向量[400?201]和[?800401]实际上是过于线性相关了，从而导致矩阵已经接近奇异矩阵（near singular matrix）。

病态矩阵实际上就是奇异矩阵和近奇异矩阵的另一个说法。

参见：

http://www.cnblogs.com/daniel-D/p/3219802.html

矩阵的条件数

我们首先假设向量b受到扰动，导致解集x产生偏差，即：

A(x+Δx)=b+Δb

也就是：

AΔx=Δb

因此，由矩阵相容性可得：

∥Δx∥≤∥A?1∥?∥Δb∥

同时，由于：

∥A∥?∥x∥≥∥b∥

所以：

∥Δx∥∥A∥?∥x∥≤∥A?1∥?∥Δb∥∥b∥

即：

∥Δx∥∥x∥≤∥A∥?∥A?1∥?∥Δb∥∥b∥

我们定义矩阵的条件数

K(A)=∥A∥?∥A?1∥

，则上式可写为：

∥Δx∥∥x∥≤K(A)∥Δb∥∥b∥

同样的，我们针对A的扰动，所导致的x的偏差，也可得到类似的结论：

∥Δx∥∥x+Δx∥≤K(A)∥ΔA∥∥A∥

可见，矩阵的条件数是描述输入扰动对输出结果影响的量度。显然，条件数越大，矩阵越病态。

然而这个定义，在病态矩阵的条件下，并不能直接用于数值计算。因为浮点数所引入的微小的量化误差，也会导致求逆结果的很大误差。所以通常情况下，一般使用矩阵的特征值或奇异值来计算条件数。

假设A是2阶方阵，它有两个单位特征向量x1,x2和相应的特征值λ1,λ2。

由之前的讨论可知，x1,x2是相互正交的。因此，向量b能够被x1,x2的线性组合所表示，即：

b=mx1+nx2=mλ1λ1x1+nλ2λ2x2=A(mλ1x1+nλ2x2)

从这里可以看出，b在x1,x2上的扰动，所带来的影响，和特征值λ1,λ2有很密切的关系。奇异值实际上也有类似的特点。

因此，一般情况下，条件数也可以由最大奇异值与最小奇异值之间的比值，或者最大特征值和最小特征值之间的比值来表示。这里的最大和最小，都是针对绝对值而言的。

参见：

https://en.wikipedia.org/wiki/Condition_number

矩阵规则化

病态矩阵处理方法有很多，这里只介绍矩阵规则化（regularization）方法。

机器学习领域，经常用到各种损失函数（loss function），也称花费函数（cost function）。这里我们用：

minf∑i=1nV(f(x^i),y^i)

表示损失函数。

当样本数远小于特征向量维数时，损失函数所表示的矩阵是一个稀疏矩阵，而且往往还是一个病态矩阵。这时，就需要引入规则化因子用以改善损失函数的稳定性：

minf∑i=1nV(f(x^i),y^i)+λR(f)

其中的λ表示规则化因子的权重。

注：稀疏矩阵并不一定是病态矩阵，比如单位阵就不是病态的。但是从系统论的角度，高维空间中样本量的稀疏，的确会带来很大的不确定性。

函数V（又叫做Fit measure）和R（又叫做Entropy measure），在不同的算法中，有不同的取值。

比如，在Ridge regression问题中：

Fit measure:∥Y?Xβ∥2,Entropy measure:∥β∥2

Ridge regression问题中规则化方法，又被称为L2 regularization，或Tikhonov regularization。

注：Andrey Nikolayevich Tikhonov，1906~1993，苏联数学家和地球物理学家。大地电磁学的发明人之一。苏联科学院院士。著有《Solutions of Ill-posed problems》一书。

更多的V和R取值参见：

https://en.wikipedia.org/wiki/Regularization_(mathematics)

从形式上来看，对比之前提到的拉格朗日函数，我们可以发现规则化因子，实际上就是给损失函数增加了一个约束条件。它的好处是增加了解向量的稳定度，缺点是增加了数值解和真实解之间的误差。

为了更便于理解规则化，这里以二维向量空间为例，给出了规则化因子对损失函数的约束效应。

上图中的圆圈是损失函数的等高线，坐标原点是规则化因子的约束中心，左图的方形和右图的圆形是lp ball。图中的黑点是等高线和lp ball的焦点，实际上也就是这个带约束的优化问题的解。

可以看出L1 regularization的解一般出现在坐标轴上，因而其他坐标上的值就是0，因此，L1 regularization会导致矩阵的稀疏。

参见：

https://en.wikipedia.org/wiki/Tikhonov_regularization

http://www.mit.edu/~cuongng/Site/Publication_files/Tikhonov06.pdf

http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995

协同过滤的ALS算法

协同过滤概述

注：最近研究商品推荐系统的算法，因此，Andrew Ng讲义的内容，后续再写。

协同过滤是目前很多电商、社交网站的用户推荐系统的算法基础，也是目前工业界应用最广泛的机器学习领域。

协同过滤是利用集体智慧的一个典型方法。要理解什么是协同过滤 (Collaborative Filtering,简称CF)，首先想一个简单的问题，如果你现在想看个电影，但你不知道具体看哪部，你会怎么做？大部分的人会问问周围的朋友，看看最近有什么好看的电影推荐，而我们一般更倾向于从口味比较类似的朋友那里得到推荐。这就是协同过滤的核心思想。

如何找到相似的用户和物品呢？其实就是计算用户间以及物品间的相似度。以下是几种计算相似度的方法：

欧氏距离

d(x,y)=∑(xi?yi)2??????????√,sim(x,y)=11+d(x,y)

Cosine相似度

cos(x,y)=?x,y?|x||y|=∑xiyi∑x2i????√ ∑y2i????√

皮尔逊相关系数（Pearson product-moment correlation coefficient，PPMCC or PCC）：

p(x,y)=cov(X,Y)σXσY=E[XY]?E[X]E[Y]E[X2]?E[X]2????????????√ E[Y2]?E[Y]2???????????√=n∑xiyi?∑xi∑yin∑x2i?(∑xi)2??????????????√ n∑y2i?(∑yi)2??????????????√

该系数由Karl Pearson发明。参见《机器学习（二）》中对Karl Pearson的简介。Fisher对该系数也有研究和贡献。

如上图所示，Cosine相似度计算的是两个样本点和坐标原点之间的直线的夹角，而PCC计算的是两个样本点和数学期望点之间的直线的夹角。

PCC能够有效解决，在协同过滤数据集中，不同用户评分尺度不一的问题。

参见：

https://en.wikipedia.org/wiki/Pearson_product-moment_correlation_coefficient

Spearman秩相关系数（Spearman’s rank correlation coefficient）

对秩变量（ranked variables）套用PCC公式，即可得Spearman秩相关系数。

秩变量是一类不在乎值的具体大小，而只关心值的大小关系的统计量。

如上表所示，Xi和Yi是原始的变量值，xi和yi是rank之后的值，di=xi?yi。

当Xi和Yi没有重复值的时候，也可用如下公式计算相关系数：

rs=1?6∑d2in(n2?1)

注：Charles Spearman，1863～1945，英国心理学家。这个人的经历比较独特，20岁从军，15年之后退役。然后，进入德国莱比锡大学读博，中间又被军队征召，参加了第二次布尔战争，因此，直到1906年才拿到博士学位。伦敦大学学院心理学教授。

尽管他的学历和教职，都是心理学方面的。但他最大的贡献，却是在统计学领域。他也是因为在统计学方面的成就，得以当选皇家学会会员。

话说那个时代的统计学大牛，除了Fisher之外，基本都是副业比主业强。只有Fisher，主业方面也是那么牛逼，不服不行啊。

由上图可见，Pearson系数关注的是两个变量之间的线性相关度，而Spearman系数可以应用到非线性或者难以量化的领域。

参见：

https://en.wikipedia.org/wiki/Spearman%27s_rank_correlation_coefficient