《视觉slam十四讲》之第3讲-三维刚体运动

第三讲:三维空间刚体运动

旋转的几种表达方式

向量

  • 关于向量:

注:其中e,e2,e3为线性空间下的一组基。

  • 向量的内积:

注:向量的内积表示向量间的投影关系。

  • 向量的外积

注:可以使用外积表示向量的旋转。

注:^ 记成一个反对称符号。

旋转矩阵

假设某个单位正交基(e1; e2; e3) ,经过一次欧式变换,变成了(e′ 1; e′ 2; e′ 3),对于同一个向量 a (注意该向量并没有随着坐标系的旋转而发生运动),它在两个坐标系下的坐标为 [a1; a2; a3]T 和 [a′ 1; a′ 2; a′ 3]T:

整理可得:

注:旋转矩阵R是一个行列式为 1 的正交矩阵。反之,行列式为 1 的正交矩阵也是一个旋转矩阵。

  • 特殊正交群

注:SO(n) 是特殊正交群( Special Orthogonal Group)的意思。

注:RT 刻画了一个相反的旋转。

变换矩阵和齐次坐标

  • 特殊欧式群

注:变换矩阵T的逆表示反向的变换

旋转向量

  1. SO(3) 的旋转矩阵有九个量,但一次旋转只有三个自由度。因此这种表达方式是冗余的。
  2. 旋转矩阵自身带有约束:它必须是个正交矩阵,且行列式为 1。这些约束会使得优化求解变得更困难。

任意旋转都可以用一个旋转轴和一个旋转角来刻画。假设有一个旋转轴为 n,角度为 θ 的旋转,显然,它对应的旋转向量为 θn。由罗德里格斯公式可知:

  • 旋转向量->旋转矩阵

  • 旋转矩阵->旋转向量

注:转轴 n 是矩阵 R 特征值 1 对应的特征向量。

欧拉角

欧拉角则提供了一种非常直观的方式来描述旋转——它使用了三个分离的转角,把一个旋转分解成三次绕不同轴的旋转。
假设一个刚体的前方(朝向我们的方向)为X 轴,右侧为 Y 轴,上方为 Z 轴,见图 3-3。那么, ZY X 转角相当于把任意旋转分解成以下三个轴上的转角:

  • 绕物体的 Z 轴旋转,得到偏航角 yaw;
  • 绕旋转之后的 Y 轴旋转,得到俯仰角 pitch;
  • 绕旋转之后的 X 轴旋转,得到滚转角 roll。

注:欧拉角的一个重大缺点是会碰到著名的万向锁问题( Gimbal Lock)

四元数

四元数是 Hamilton 找到的一种扩展的复数. 它既是紧凑的,也没有奇异性

一个四元数 q 拥有一个实部和三个虚部。

人们也用一个标量和一个向量来表达四元数:

注:我们能用单位四元数表示三维空间中任意一个旋转

四元数与旋转向量的对应关系

  • 旋转向量->四元数

  • 四元数->旋转向量

注:在四元数中, 任意的旋转都可以由两个互为相反数的四元数表示。

四元数的运算

1. 加法和减法

2. 乘法

3. 共轭

4. 模长

5. 逆

6. 数乘与点乘

用四元数表示旋转

注:p′表示为三维点 p经过四元数 q 旋转后的三维点。

四元数与旋转矩阵的关系

  • 四元数->旋转矩阵

  • 旋转矩阵->四元数

关于其他几种变换

相似变换

相似变换比欧氏变换多了一个自由度,它允许物体进行均匀的缩放,其矩阵表示为:

仿射变换

与欧氏变换不同的是,仿射变换只要求 A 是一个可逆矩阵,而不必是正交矩阵。仿射变换也叫正交投影。经过仿射变换之后,立方体就不再是方的了,但是各个面仍然是平行四边形:

射影变换

射影变换是最一般的变换,它左上角为可逆矩阵 A,右上为平移 t,左下缩放 aT。2D 的射影变换一共有 8 个自由度, 3D 则共有 15 个自由度。

从真实世界到相机照片的变换可以看成一个射影变换。

原文地址:https://www.cnblogs.com/ChrisCoder/p/10029808.html

时间: 2024-10-14 20:33:38

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